Passe para coordenadas polares e calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Isso envolve mudança de variáveis em integrais duplas e identificação dos limites no sistema polar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração: o limite superior em
é
, que satisfaz
. Essa é a circunferência de raio
centrada em
. Como
vai de 0 a 1 e
, a região é o meio-círculo superior. Em coordenadas polares fazemos
,
e o Jacobiano é
. A equação da circunferência fica
. Como
, temos
e
.
Passo 3
Agora a integral se torna
Passo 4
Para calcular
, usamos a fórmula para potências pares:
$$\n\int_{0}{\pi/2}\cosn\theta,d\theta=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2},\quad npar.
$$
Passo 5
Aqui
, então
e
, logo
$$\n\int_{0}{\pi/2}\cos4\theta,d\theta=\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}.
$$
Passo 6
Substituindo de volta:
$$\n\frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{16}=\frac{\pi}{16}.
$$