Passe para coordenadas polares e calcule.
integral0^1 integral0^raizx-x^2 x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1integral0^raizx - x^2x,dy,dx usando coordenadas polares. Isso envolve mudança de variáveis em integrais duplas e identificação dos limites no sistema polar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração: o limite superior em y é y=raizx-x^2, que satisfaz x^2+y^2=x. Essa é a circunferência de raio tfrac12 centrada em l(tfrac12,0r). Como x vai de 0 a 1 e y>=0, a região é o meio-círculo superior. Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e o Jacobiano é r. A equação da circunferência fica r=costheta. Como x>=0,,y>=0, temos 0<=theta<=tfracpi2 e 0<= r<=costheta.

Passo 3

Agora a integral se torna

Passo 4

Para calcular integral0^pi/2cos^4theta,dtheta, usamos a fórmula para potências pares:
$$\n\int_{0}{\pi/2}\cosn\theta,d\theta=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2},\quad npar.
$$

Passo 5

Aqui n=4, então (n-1)!!=3!!=3 e n!!=4!!=8, logo
$$\n\int_{0}{\pi/2}\cos4\theta,d\theta=\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}.
$$

Passo 6

Substituindo de volta:
$$\n\frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{16}=\frac{\pi}{16}.
$$

Resposta

pi16

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