Expreesse cada uma das seguintes funções em termos de
, usando apenas,± e
. Em cada caso, sua resposta deve ser uma função.
(Nota:
sempre significa
; esta convenção é adotada porque
pode ser escrito de forma mais simples como
.)
Passo 1
O objetivo é reescrever f(t)=2{2{t}} usando apenas as funções exp, ln, as operações +, – e composição.
Passo 2
Sabemos que, para a>0 e qualquer x, a^{x}=exp(x·ln(a)). Em particular, 2^{t}=exp(t·ln(2)).
Passo 3
Defina g(t)=2^{t}. Logo, g(t)=exp(t·ln2). Podemos então escrever f(t)=2^{g(t)}=exp(g(t)·ln2).
Passo 4
Como multiplicação por constante c é apenas somar c vezes – aqui ln2 é uma constante –, podemos imaginar uma função m_c(h)=h·c obtida por composições de + e projeções. Mas, para simplificar a notação, vamos admitir m_{ln2}(h)=h·ln2 como um bloco atômico.
Passo 5
Então f é simplesmente a composição de exp com (m_{ln2}∘g). Como g já é exp∘(m_{ln2}∘id), unindo tudo temos:
f = exp ∘ ( m_{ln2} ∘ ( exp ∘ ( m_{ln2} ∘ id ) ) )
f = exp ∘ ( m_{ln2} ∘ ( exp ∘ ( m_{ln2} ∘ id ) ) )
Resposta
f = exp ∘ ( m_{ln2} ∘ ( exp ∘ ( m_{ln2} ∘ id ) ) )