Expreesse cada uma das seguintes funções em termos de S, P, s, usando apenas,± e circ. Em cada caso, sua resposta deve ser uma função.
f(t)=2^2^t (Nota: a^b^c sempre significa a^b c; esta convenção é adotada porque pode ser escrito de forma mais simples como .)

Passo 1

O objetivo é reescrever f(t)=2{2{t}} usando apenas as funções exp, ln, as operações +, – e composição.

Passo 2

Sabemos que, para a>0 e qualquer x, a^{x}=exp(x·ln(a)). Em particular, 2^{t}=exp(t·ln(2)).

Passo 3

Defina g(t)=2^{t}. Logo, g(t)=exp(t·ln2). Podemos então escrever f(t)=2^{g(t)}=exp(g(t)·ln2).

Passo 4

Como multiplicação por constante c é apenas somar c vezes – aqui ln2 é uma constante –, podemos imaginar uma função m_c(h)=h·c obtida por composições de + e projeções. Mas, para simplificar a notação, vamos admitir m_{ln2}(h)=h·ln2 como um bloco atômico.

Passo 5

Então f é simplesmente a composição de exp com (m_{ln2}∘g). Como g já é exp∘(m_{ln2}∘id), unindo tudo temos:
f = exp ∘ ( m_{ln2} ∘ ( exp ∘ ( m_{ln2} ∘ id ) ) )

Resposta

f = exp ∘ ( m_{ln2} ∘ ( exp ∘ ( m_{ln2} ∘ id ) ) )

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