Seja S(x)=x^2, P(x)=2^x e seja s(x)=sin (x). Encontre cada um dos seguintes. Em cada caso, sua resposta deve ser um número.
(a) (S circ P)(y).
(b) (S circ s)(y).
© (S circ P circ s)(t)+(s circ P)(t).
(d) S, P, s.
4. Expresse cada uma das seguintes funções em termos de circ, usando apenas,± e . Em cada caso, sua resposta deve ser uma função.

Passo 1

O enunciado define três funções básicas: S(x)=x^2, P(x)=2^x e s(x)=sin(x). Precisamos usar a definição de composição de funções (se f e g são funções, então (fcirc g)(x)=f(g(x))) para calcular os itens (a) a (d). A parte 4 pede uma expressão em termos de S,P,s, mas não foram dadas as funções a expressar.

Passo 2

Para calcular (Scirc P)(y), aplicamos primeiro P em y e depois S no resultado. Assim, P(y)=2^y e depois Sl(2^yr)=(2^y)^2. Simplificando, (2^y)^2=2^2y=4^y.

Passo 3

Para calcular (Scirc s)(y), aplicamos primeiro s em y e depois S. Logo, s(y)=sin(y) e Sl(sin(y)r)=(sin(y))^2=sin^2(y).

Passo 4

No item © temos duas composições somadas: (Scirc Pcirc s)(t) e (scirc P)(t). Primeiro, (Pcirc s)(t)=Pl(s(t)r)=2^sin(t), depois S desse valor dá l(2^sin(t)r)^2=2^2sin(t). Já (scirc P)(t)=sl(P(t)r)=sinl(2^tr). Somando, fica 2^2sin(t)+sin(2^t).

Passo 5

No item (d) a expressão é simplesmente s(t^3)=sin(t^3), pois aplicamos s(x)=sin(x) em t^3.

Passo 6

A parte 4 não pode ser resolvida porque o enunciado não forneceu quais funções devem ser expressas em termos de S,P,s.

Resposta

(a) (Scirc P)(y)=4^y
(b) (Scirc s)(y)=sin^2(y)
© (Scirc Pcirc s)(t)+(scirc P)(t)=2^2sin(t)+sin(2^t)
(d) s(t^3)=sin(t^3)
Parte 4: não é possível resolver pois as funções não foram fornecidas.

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