Expreesse o vetor \mathbf{v} como a soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} \mathbf{e} um vetor ortogonal \mathbf{a} \mathbf{b}.
\mathbf{v}=\langle-2,1,6\rangle, \mathbf{b}=\langle 0,-2,1\rangle

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e pede que eu escreva \mathbf{v} como soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} e um vetor ortogonal a \mathbf{b}.
Informações dadas:
  • \mathbf{v}=\langle -2,1,6\rangle.
  • \mathbf{b}=\langle 0,-2,1\rangle.
O que é pedido:
  • Encontrar um vetor \mathbf{v}_{\parallel} que seja paralelo a \mathbf{b}.
  • Encontrar um vetor \mathbf{v}_{\perp} que seja ortogonal a \mathbf{b}.
  • Escrever \mathbf{v}=\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\perp}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Produto escalar (dot product): para \mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \mathbf{w}=\langle w_1,w_2,w_3\rangle define-se
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3.
Isso mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro.
  • Projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b}: o vetor paralelo a \mathbf{b} que representa a componente de \mathbf{v} na direção de \mathbf{b} é dado por
\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b}.
Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} é um número (escalar) e \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} é o quadrado da norma de \mathbf{b}. A fração é o escalar que multiplica \mathbf{b}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} passo a passo usando os componentes dados:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=(-2)\cdot 0 + 1\cdot(-2) + 6\cdot 1 = 0 -2 +6 = 4.

Passo 4

Calcular \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} (que é \|\mathbf{b}\|^2):
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=0^2 + (-2)^2 + 1^2 = 0 +4 +1 =5.

Passo 5

Encontrar a componente paralela usando a fórmula da projeção:
\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b}=\frac{4}{5}\,\mathbf{b}=\frac{4}{5}\langle 0,-2,1\rangle.
Multiplicando escalarmente:
\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\left\langle 0,\,-\frac{8}{5},\,\frac{4}{5}\right\rangle.
Este é o vetor paralelo a \mathbf{b}.

Passo 6

Calcular a componente ortogonal como a diferença entre \mathbf{v} e a projeção:
\mathbf{v}_{\perp}=\mathbf{v}-\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v}=\langle -2,1,6\rangle-\left\langle 0,-\frac{8}{5},\frac{4}{5}\right\rangle.
Subtraindo componente a componente:
\mathbf{v}_{\perp}=\left\langle -2,\;1+\frac{8}{5},\;6-\frac{4}{5}\right\rangle=\left\langle -2,\;\frac{13}{5},\;\frac{26}{5}\right\rangle.

Passo 7

Verificação rápida de ortogonalidade (para ganhar confiança): calcular \mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}
\mathbf{v}_{\perp}\cdot\mathbf{b}=(-2)\cdot 0 + \frac{13}{5}\cdot(-2) + \frac{26}{5}\cdot 1 = 0 -\frac{26}{5} + \frac{26}{5}=0,
portanto \mathbf{v}_{\perp} é de fato ortogonal a \mathbf{b}.

Resposta

\mathbf{v}=\left\langle 0,-\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5}\right\rangle+\left\langle -2,\dfrac{13}{5},\dfrac{26}{5}\right\rangle
\mathbf{v}_{\parallel}=\left\langle 0,-\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5}\right\rangle
\mathbf{v}_{\perp}=\left\langle -2,\dfrac{13}{5},\dfrac{26}{5}\right\rangle

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