Expreesse o vetor \mathbf{v} como a soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} \mathbf{e} um vetor ortogonal \mathbf{a} \mathbf{b}.
\mathbf{v}=\langle 1,4,1\rangle, \mathbf{b}=\langle 3,-2,5\rangle

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor \mathbf{v} como soma de um vetor paralelo a \mathbf{b} e de um vetor ortogonal a \mathbf{b}. Dados fornecidos:
  • \mathbf{v} = \langle 1,4,1\rangle.
  • \mathbf{b} = \langle 3,-2,5\rangle.
O que precisamos entregar:
  • o componente de \mathbf{v} paralelo a \mathbf{b} (chamarei de \mathbf{v}_{\parallel});
  • o componente de \mathbf{v} ortogonal a \mathbf{b} (chamarei de \mathbf{v}_{\perp});
  • e escrever \mathbf{v} = \mathbf{v}_{\parallel} + \mathbf{v}_{\perp}.

Passo 2

Vamos aprender a fórmula que usamos para separar um vetor em componente paralelo e ortogonal em relação a outro vetor.
Definições e fórmula:
  • Produto escalar: para dois vetores \mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \mathbf{w}=\langle w_1,w_2,w_3\rangle, \mathbf{u}\cdot\mathbf{w} = u_1w_1 + u_2w_2 + u_3w_3.O produto escalar mede, entre outras coisas, se vetores são ortogonais: se \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=0 então eles são ortogonais.
  • Projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{b}: o componente de \mathbf{v} paralelo a \mathbf{b} é dado por \mathbf{v}_{\parallel} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{v} = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\,\mathbf{b}.Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} é um número (escalar) e \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} é o quadrado da norma de \mathbf{b}. A fração é o escalar que escala \mathbf{b} para obter a projeção.
  • O componente ortogonal é \mathbf{v}_{\perp} = \mathbf{v} - \mathbf{v}_{\parallel}.
Explicação intuitiva: a projeção pega a "parte de \mathbf{v} que vai na direção de \mathbf{b}". O resto é ortogonal a \mathbf{b}.

Passo 3

Calculamos o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}. Usando as componentes fornecidas:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{b} = \langle 1,4,1\rangle\cdot\langle 3,-2,5\rangle = 1\cdot3 + 4\cdot(-2) + 1\cdot5.
Agora somando:
1\cdot3 + 4\cdot(-2) + 1\cdot5 = 3 - 8 + 5 = 0.

Passo 4

Calculamos \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} para ter o denominador da projeção:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{b} = \langle 3,-2,5\rangle\cdot\langle 3,-2,5\rangle = 3^2 + (-2)^2 + 5^2 = 9 + 4 + 25 = 38.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da projeção. Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=0, o escalar é
\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}} = \frac{0}{38} = 0.
Portanto
\mathbf{v}_{\parallel} = 0\cdot\mathbf{b} = \langle 0,0,0\rangle.

Passo 6

O componente ortogonal é
\mathbf{v}_{\perp} = \mathbf{v} - \mathbf{v}_{\parallel} = \langle 1,4,1\rangle - \langle 0,0,0\rangle = \langle 1,4,1\rangle.
Interpretação rápida e motivadora: como o produto escalar deu zero, \mathbf{v} já é ortogonal a \mathbf{b}. Então a decomposição é simples — a parte paralela é nula e a parte ortogonal é o próprio \mathbf{v}. Boa notícia: isso facilita muito na prova!

Passo 7

Escrevendo a soma final:
\mathbf{v} = \mathbf{v}_{\parallel} + \mathbf{v}_{\perp} = \langle 0,0,0\rangle + \langle 1,4,1\rangle = \langle 1,4,1\rangle.

Resposta

\mathbf{v}_{\parallel} = \langle 0,0,0\rangle
\mathbf{v}_{\perp} = \langle 1,4,1\rangle

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