Expreesse o vetor
como a soma de um vetor paralelo a
um vetor ortogonal
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o vetor
como soma de um vetor paralelo a
e de um vetor ortogonal a
. Dados fornecidos:
-
. -
.
O que precisamos entregar:
- o componente de
paralelo a (chamarei de ); - o componente de
ortogonal a (chamarei de ); - e escrever
.
Passo 2
Vamos aprender a fórmula que usamos para separar um vetor em componente paralelo e ortogonal em relação a outro vetor.
Definições e fórmula:
- Produto escalar: para dois vetores
e , O produto escalar mede, entre outras coisas, se vetores são ortogonais: se então eles são ortogonais. - Projeção de
sobre : o componente de paralelo a é dado por Aqui é um número (escalar) e é o quadrado da norma de . A fração é o escalar que escala para obter a projeção. - O componente ortogonal é
Explicação intuitiva: a projeção pega a "parte de
que vai na direção de
". O resto é ortogonal a
.
Passo 3
Calculamos o produto escalar
. Usando as componentes fornecidas:
Agora somando:
Passo 4
Calculamos
para ter o denominador da projeção:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da projeção. Como
, o escalar é
Portanto
Passo 6
O componente ortogonal é
Interpretação rápida e motivadora: como o produto escalar deu zero,
já é ortogonal a
. Então a decomposição é simples — a parte paralela é nula e a parte ortogonal é o próprio
. Boa notícia: isso facilita muito na prova!
Passo 7
Escrevendo a soma final: