Expreesse o vetor
como a soma de um vetor paralelo a
um vetor ortogonal
.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores e pede que eu escreva
como soma de um vetor paralelo a
e um vetor ortogonal a
.
Informações dadas:
-
. -
.
O que é pedido:
- Encontrar um vetor
que seja paralelo a . - Encontrar um vetor
que seja ortogonal a . - Escrever
.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Produto escalar (dot product): para
e define-se
Isso mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro.
- Projeção de
sobre : o vetor paralelo a que representa a componente de na direção de é dado por
Aqui
é um número (escalar) e
é o quadrado da norma de
. A fração é o escalar que multiplica
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
passo a passo usando os componentes dados:
Passo 4
Calcular
(que é
):
Passo 5
Encontrar a componente paralela usando a fórmula da projeção:
Multiplicando escalarmente:
Este é o vetor paralelo a
.
Passo 6
Calcular a componente ortogonal como a diferença entre
e a projeção:
Subtraindo componente a componente:
Passo 7
Verificação rápida de ortogonalidade (para ganhar confiança): calcular
portanto
é de fato ortogonal a
.