\langle 1,2,0\rangle \times\langle 3,0,4\rangle= \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3 e pede o produto vetorial entre eles. Dados:
  • Primeiro vetor: \langle 1,2,0\rangle.
  • Segundo vetor: \langle 3,0,4\rangle.
A pergunta é: qual é \langle 1,2,0\rangle \times \langle 3,0,4\rangle?

Passo 2

Vamos lembrar o que é o produto vetorial e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático). Para dois vetores
\mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e \mathbf{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle,
o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é outro vetor em \mathbb{R}^3 dado por:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Explicando as peças:
  • a_1,a_2,a_3 são as componentes do primeiro vetor (no nosso caso a_1=1, a_2=2, a_3=0).
  • b_1,b_2,b_3 são as componentes do segundo vetor (no nosso caso b_1=3, b_2=0, b_3=4).
    Essa fórmula dá as três componentes do vetor resultante. Intuição rápida: o produto vetorial é perpendicular a ambos os vetores originais e sua direção segue a regra da mão direita.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula componente a componente, substituindo as componentes dadas.
Primeira componente:
c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2 = 2\cdot 4 - 0\cdot 0 = 8.
Segunda componente:
c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3 = 0\cdot 3 - 1\cdot 4 = -4.
Terceira componente:
c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1\cdot 0 - 2\cdot 3 = -6.

Passo 4

Checagem importante (para usar na prova): o vetor resultante deve ser perpendicular aos dois vetores iniciais. Verificamos usando produto escalar com as componentes que calculamos ( c_1=8, c_2=-4, c_3=-6).
Produto escalar com o primeiro vetor:
8\cdot 1 + (-4)\cdot 2 + (-6)\cdot 0 = 8 - 8 + 0 = 0.
Produto escalar com o segundo vetor:
8\cdot 3 + (-4)\cdot 0 + (-6)\cdot 4 = 24 + 0 - 24 = 0.
Ambos são zero, então o vetor formado por (8,-4,-6) é de fato perpendicular aos dois vetores dados — ótima confirmação do cálculo.

Resposta

\langle 8,-4,-6\rangle

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