Expreesse o vetor unitário
em componentes esféricas no ponto: x=3, y=2, z=-1
Passo 1
O enunciado dá o ponto com coordenadas
,
,
e pede para expressar o vetor unitário
em componentes esféricas nesse ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar a relação entre coordenadas cartesianas
e esféricas
. As fórmulas são:
Também é útil a projeção no plano
:
Explicando pedagogicamente:
é a distância do ponto à origem;
mede o quanto o ponto está “acima” ou “abaixo” do eixo
;
é a direção no plano horizontal. A função
garante o quadrante correto para
.
Passo 3
Calcule
para o ponto dado:
Passo 4
Calcule a projeção no plano
e as funções trigonométricas de
:
Logo
Isto vem da definição de cosseno e seno no triângulo formado por
e
.
Passo 5
Calcule
e
:
Para
usamos a identidade
:
Passo 6
Agora, a fórmula padrão para o versor radial
(o vetor unitário na direção do ponto, que é o que normalmente se pede quando se pede o “vetor unitário em esféricas”) escrito em componentes cartesianas é:
Aqui
são os versores cartesianas nas direções
. Em palavras: multiplicamos as projeções angulares para obter as componentes em
.
Passo 7
Substituímos os valores calculados em
. Calcule cada termo:
Observação didática: essas simplificações ocorreram porque
continha
e
continham
, então parte se cancelou.
Passo 8
Portanto o vetor unitário na direção do ponto
(o versor radial
) é
Nota pedagógica curta: isso é exatamente o vetor
normalizado por sua norma
. Em coordenadas esféricas (componentes na base
) esse versor tem componentes
porque é o próprio versor radial.