Expreesse o vetor unitário \mathbf{a}_{⿻} em componentes esféricas no ponto: x=3, y=2, z=-1

Passo 1

O enunciado dá o ponto com coordenadas x=3, y=2, z=-1 e pede para expressar o vetor unitário \mathbf{a}_{⿻} em componentes esféricas nesse ponto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;x=3
\;y=2
\;z=-1

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar a relação entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e esféricas (r,\theta,\varphi). As fórmulas são:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{r}\right)\quad\text{(ângulo polar, medido a partir do eixo \(+z\))},â
\varphi=\operatorname{atan2}(y,x)\quad\text{(ângulo azimutal no plano \(xy\), contado a partir de \(+x\))}.â
Também é útil a projeção no plano xy:
\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicando pedagogicamente: r é a distância do ponto à origem; \theta mede o quanto o ponto está “acima” ou “abaixo” do eixo z; \varphi é a direção no plano horizontal. A função \operatorname{atan2}(y,x) garante o quadrante correto para \varphi.

Passo 3

Calcule r para o ponto dado:
r=\sqrt{3^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.

Passo 4

Calcule a projeção no plano xy e as funções trigonométricas de \varphi:
\rho=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}.
Logo
\cos\varphi=\frac{x}{\rho}=\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}=\frac{2}{\sqrt{13}}.
Isto vem da definição de cosseno e seno no triângulo formado por x e y.

Passo 5

Calcule \cos\theta e \sin\theta:
\cos\theta=\frac{z}{r}=\frac{-1}{\sqrt{14}}.
Para \sin\theta usamos a identidade \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta:
\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{-1}{\sqrt{14}}\right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{14}}=\sqrt{\frac{13}{14}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}}.

Passo 6

Agora, a fórmula padrão para o versor radial \hat{\mathbf{r}} (o vetor unitário na direção do ponto, que é o que normalmente se pede quando se pede o “vetor unitário em esféricas”) escrito em componentes cartesianas é:
\hat{\mathbf{r}}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf{i}}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf{j}}+\cos\theta\,\hat{\mathbf{k}}.
Aqui \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são os versores cartesianas nas direções x,y,z. Em palavras: multiplicamos as projeções angulares para obter as componentes em x,y,z.

Passo 7

Substituímos os valores calculados em \hat{\mathbf{r}}. Calcule cada termo:
\sin\theta\cos\varphi=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{14}},
\sin\theta\sin\varphi=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{14}},
\cos\theta=\frac{-1}{\sqrt{14}}.
Observação didática: essas simplificações ocorreram porque \sin\theta continha \sqrt{13} e \cos\varphi,\sin\varphi continham \frac{1}{\sqrt{13}}, então parte se cancelou.

Passo 8

Portanto o vetor unitário na direção do ponto (3,2,-1) (o versor radial \hat{\mathbf{r}}) é
\hat{\mathbf{r}}=\frac{3}{\sqrt{14}}\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{2}{\sqrt{14}}\,\hat{\mathbf{j}}-\frac{1}{\sqrt{14}}\,\hat{\mathbf{k}}.
Nota pedagógica curta: isso é exatamente o vetor (3,2,-1) normalizado por sua norma \sqrt{14}. Em coordenadas esféricas (componentes na base \{\hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}\}) esse versor tem componentes (1,0,0) porque é o próprio versor radial.

Resposta

\mathbf{a}_{⿻}=\frac{3}{\sqrt{14}}\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{2}{\sqrt{14}}\,\hat{\mathbf{j}}-\frac{1}{\sqrt{14}}\,\hat{\mathbf{k}}
\text{(componentes esféricas na base } \{\hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}},\hat{\boldsymbol{\varphi}}\}\text{): }(1,0,0)é

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