Qual das matrizes abaixo representa uma transformação linear sobrejetiva?
(a) \left[\begin{array}{ll}1 & -2 \\\\ 4 & -8\end{array}\right]
(b) \left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ -2 & -2 \\\\ -2 & -1\end{array}\right]
(c) \left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & -2 \\\\ 1 & -2 & -2\end{array}\right]
(d) \left[\begin{array}{rr}-1 & -2 \\\\ 2 & -2 \\\\ -2 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar qual das matrizes dadas representa uma transformação linear sobrejetiva.
Informações fornecidas (cada matriz está escrita na forma que aparece no enunciado):
\text{(a)}\;A_a=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]4 & -8\end{pmatrix}
\text{(b)}\;A_b=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & -2\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}
\text{\text{(c)}}\;A_c=\begin{pmatrix}-1 & 2 & -2\\[4pt]1 & -2 & -2\end{pmatrix}
\text{(d)}\;A_d=\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]2 & -2\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}
Cada matriz A representa uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m dada por T(x)=Ax. A pergunta é: qual dessas transformações é sobrejetiva (ou seja, atinge todo o espaço de chegada)?]

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar): uma matriz A de tamanho m\times n representa uma transformação T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m.
  • Sobrejetiva significa: para todo vetor y\in\mathbb{R}^m existe x\in\mathbb{R}^n tal que Ax=y.
  • Interpretação prática: as colunas de A são exatamente as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^n. Assim, T é sobrejetiva se, e somente se, as colunas de A geram (span) todo \mathbb{R}^m.
  • Outra forma prática: T é sobrejetiva se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=m (ou seja, posto igual ao número de linhas). Isso significa “posto completo por linhas”: as linhas (ou colunas) têm dimensão máxima possível igual a m.
Vou usar esse critério: calcular/estimar o posto de cada matriz e verificar se é igual ao número de linhas m.

Passo 3

Analisando a alternativa (a).
A matriz A_a é 2\times2 (logo m=2). As colunas são
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
Observe que c_2=-2\,c_1, pois
-2\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
Portanto as colunas são linearmente dependentes e \operatorname{rank}(A_a)=1. Como \operatorname{rank}(A_a)=1<2=m, a transformação não é sobrejetiva. Eliminamos (a).]

Passo 4

Analisando a alternativa (b).
A matriz A_b é 3\times2 (logo m=3 e n=2). Importante: o posto de uma matriz é no máximo \min(m,n). Aqui \min(3,2)=2, então \operatorname{rank}(A_b)\le 2. Mas para ser sobrejetiva precisamos de \operatorname{rank}(A_b)=m=3. Isso é impossível porque 2<3. Logo A_b não pode representar uma transformação sobrejetiva. Eliminamos (b).

Passo 5

Analisando a alternativa (c).
A matriz A_c é 2\times3 (logo m=2, n=3). Para ser sobrejetiva precisamos de \operatorname{rank}(A_c)=2. As colunas são
c_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Primeira observação: c_2=-2\,c_1, porque
-2\cdot\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Então c_2 não acrescenta nova direção além de c_1. Precisamos verificar se existe outra coluna que seja linearmente independente de c_1. Verifiquemos c_1 e c_3. Calcule o determinante da matriz 2\times2 formada por essas colunas (se não for zero, são independentes):
\det\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-2)-(-2)\cdot 1=2-(-2)=4.
O determinante é \,4\neq 0, logo c_1 e c_3 são linearmente independentes. Assim as colunas de A_c geram um subespaço de dimensão 2, ou seja \operatorname{rank}(A_c)=2. Como 2=m, a transformação representada por A_c é sobrejetiva. Portanto (c) é candidata válida.
(Síntese curta do que fizemos: provamos que há duas colunas linearmente independentes, então posto máximo por linhas alcançado.)]

Passo 6

Analisando a alternativa (d).
A matriz A_d é 3\times2 (logo m=3 e n=2). Assim como em (b), \operatorname{rank}(A_d)\le\min(3,2)=2. Para ser sobrejetiva precisaríamos de \operatorname{rank}(A_d)=3, o que é impossível. Logo A_d não é sobrejetiva. Eliminamos (d).

Passo 7

Conclusão final: a única matriz com posto igual ao número de linhas é a do item (c), então apenas (c) representa uma transformação linear sobrejetiva.

Resposta

(c) \left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & -2 \\[4pt]1 & -2 & -2\end{array}\right]]

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