Expreesse o vetor unitário
em componentes esféricas no ponto: r=2, \theta=1 \mathrm{rad}, \varphi=0,8 \mathrm{rad}
Passo 1
O enunciado pede para expressar o vetor unitário
em componentes esféricas no ponto dado pelas coordenadas
,
,
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
O objetivo é escrever
como combinação linear dos versores da base esférica
,
e
avaliados nesse ponto.
Passo 2
Escolhimento da interpretação e do método (explicação amigável): como o enunciado usa
com um índice não usual (
) e não dá figura, a interpretação mais comum em exercícios desse tipo é que o vetor unitário pedido é um dos versores cartesianos (por exemplo
,
ou
). Vou assumir aqui que
representa o versor cartesiano
(isto é habitual em provas: pedir para escrever
em base esférica num ponto). Se você quisesse outro versor cartesiano (
ou
), o procedimento é idêntico, mudando apenas alguns sinais. Vou então expressar
em termos de
.
Passo 3
Relembrando e ensinando as fórmulas fundamentais (o porquê delas): os versores da base esférica (no ponto com ângulos
) relacionam-se com os versores cartesianos
pelas identidades
Explicação curta: essas fórmulas vêm da decomposição das direções radiais e angulares em termos dos eixos
; por exemplo
aponta para fora do centro, com projeção nos eixos
.
Passo 4
Invertendo as fórmulas para obter
em função da base esférica (a operação algébrica): queremos escrever
e determinar
. A forma direta (padrão em teoria de coordenadas) resulta em
Justificativa rápida: basta resolver o sistema linear obtido a partir das expressões de
para
, ou projetar
em cada um dos versores esféricos usando produto escalar (por exemplo
, etc.). Isso resulta nas componentes acima.
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente as componentes usando os ângulos dados. Primeiro calculamos os senos e cossenos necessários (apresento com 6 casas para ficar claro):
Explicação: essas são avaliações trigonométricas padrão; em prova você pode usar tabela ou calculadora se permitir, aqui só mostro os valores aproximados usados.
Passo 6
Multiplicamos para obter os coeficientes:
Mostrei as multiplicações com arredondamento a 4 casas decimais para ficar legível — na prova ajuste a precisão exigida.
Passo 7
Escrevendo finalmente
na base esférica no ponto dado (juntando os coeficientes):
Comentário motivador: pronto! É exatamente isso que você faria na prova — lembrar as relações entre versores e projetar.