Expreesse o vetor unitário \mathbf{a}_{⿻} em componentes esféricas no ponto: r=2, \theta=1 \mathrm{rad}, \varphi=0,8 \mathrm{rad}

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor unitário \mathbf{a}_{⿻} em componentes esféricas no ponto dado pelas coordenadas r=2, \theta=1\\ \mathrm{rad}, \varphi=0,8\\ \mathrm{rad}.\n
Informações fornecidas:
r=2,\qquad \theta=1\\ \mathrm{rad},\qquad \varphi=0,8\\ \mathrm{rad}
O objetivo é escrever \mathbf{a}_{⿻} como combinação linear dos versores da base esférica \mathbf{a}_{r}, \mathbf{a}_{\theta} e \mathbf{a}_{\varphi} avaliados nesse ponto.

Passo 2

Escolhimento da interpretação e do método (explicação amigável): como o enunciado usa \mathbf{a} com um índice não usual ( ) e não dá figura, a interpretação mais comum em exercícios desse tipo é que o vetor unitário pedido é um dos versores cartesianos (por exemplo \mathbf{a}_{x}, \mathbf{a}_{y} ou \mathbf{a}_{z}). Vou assumir aqui que \mathbf{a}_{⿻} representa o versor cartesiano \mathbf{a}_{x} (isto é habitual em provas: pedir para escrever \mathbf{a}_{x} em base esférica num ponto). Se você quisesse outro versor cartesiano ( \mathbf{a}_{y} ou \mathbf{a}_{z}), o procedimento é idêntico, mudando apenas alguns sinais. Vou então expressar \mathbf{a}_{x} em termos de \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}.

Passo 3

Relembrando e ensinando as fórmulas fundamentais (o porquê delas): os versores da base esférica (no ponto com ângulos \theta,\varphi) relacionam-se com os versores cartesianos \mathbf{a}_{x},\mathbf{a}_{y},\mathbf{a}_{z} pelas identidades
\mathbf{a}_{r}=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_{y}+\cos\theta\,\mathbf{a}_{z},
\mathbf{a}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\cos\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_{y}-\sin\theta\,\mathbf{a}_{z},
\mathbf{a}_{\varphi}=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_{x}+\cos\varphi\,\mathbf{a}_{y}.
Explicação curta: essas fórmulas vêm da decomposição das direções radiais e angulares em termos dos eixos x,y,z; por exemplo \mathbf{a}_{r} aponta para fora do centro, com projeção nos eixos (\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta).

Passo 4

Invertendo as fórmulas para obter \mathbf{a}_{x} em função da base esférica (a operação algébrica): queremos escrever
\mathbf{a}_{x}=C_{r}\,\mathbf{a}_{r}+C_{\theta}\,\mathbf{a}_{\theta}+C_{\varphi}\,\mathbf{a}_{\varphi},
e determinar C_{r},C_{\theta},C_{\varphi}. A forma direta (padrão em teoria de coordenadas) resulta em
\mathbf{a}_{x}=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{r}+\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\theta}-\sin\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}.
Justificativa rápida: basta resolver o sistema linear obtido a partir das expressões de \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi} para \mathbf{a}_{x}, ou projetar \mathbf{a}_{x} em cada um dos versores esféricos usando produto escalar (por exemplo C_{r}=\mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{r}=\sin\theta\cos\varphi, etc.). Isso resulta nas componentes acima.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente as componentes usando os ângulos dados. Primeiro calculamos os senos e cossenos necessários (apresento com 6 casas para ficar claro):
\sin\theta=\sin(1)\approx 0,841471,\qquad \cos\theta=\cos(1)\approx 0,540302,
\sin\varphi=\sin(0,8)\approx 0,717356,\qquad \cos\varphi=\cos(0,8)\approx 0,696707.
Explicação: essas são avaliações trigonométricas padrão; em prova você pode usar tabela ou calculadora se permitir, aqui só mostro os valores aproximados usados.

Passo 6

Multiplicamos para obter os coeficientes:
C_{r}=\sin\theta\cos\varphi\approx 0,841471\times 0,696707\approx 0,5863,
C_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\approx 0,540302\times 0,696707\approx 0,3764,
C_{\varphi}=-\sin\varphi\approx -0,717356.
Mostrei as multiplicações com arredondamento a 4 casas decimais para ficar legível — na prova ajuste a precisão exigida.

Passo 7

Escrevendo finalmente \mathbf{a}_{x} na base esférica no ponto dado (juntando os coeficientes): \mathbf{a}_{x}\approx 0,5863\,\mathbf{a}_{r}+0,3764\,\mathbf{a}_{\theta}-0,7174\,\mathbf{a}_{\varphi}.
Comentário motivador: pronto! É exatamente isso que você faria na prova — lembrar as relações entre versores e projetar.

Resposta

\displaystyle \mathbf{a}_{x}\approx 0,5863\,\mathbf{a}_{r}+0,3764\,\mathbf{a}_{\theta}-0,7174\,\mathbf{a}_{\varphi}

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