For each pair of integers
and
, find integers
and
such that
and
:
and
;
Passo 1
O enunciado dá os inteiros
e
e pede inteiros
e
tais que
e
Ou seja, precisamos escrever
como um quociente inteiro vezes
mais um resto não negativo menor que
.
Passo 2
Vamos usar o algoritmo da divisão inteira (teorema do quociente e resto): para inteiros
e
existem inteiros únicos
e
com
Quando
uma forma prática de encontrar
é tomar
, onde
é a parte inteira por defeito (o maior inteiro menor ou igual a
). Para números negativos isso significa que se
não for inteiro,
é menor (mais negativo) que a parte inteira por truncamento.
Passo 3
Calculemos a divisão real:
O piso (floor) desse número é
Portanto uma boa escolha é
. Agora calculamos o resto pelo rearranjo
:
Passo 4
Calculemos
e
:
Verificamos a condição do resto:
é verdadeira, então
é aceitável. Também conferimos a igualdade:
que bate com
.
Passo 5
Resumo didático curto: tentar
falha porque daria resto negativo (
). A escolha do piso
garante resto não negativo. Esse é o procedimento geral quando
é negativo e
.