For each pair of integers a and b, find integers q and r such that a=b q+r and 0 \leq r<|b| :
a=-278 and b=12;

Passo 1

O enunciado dá os inteiros a=-278 e b=12 e pede inteiros q e r tais que
a = bq + r
e
0 \le r < |b|.
Ou seja, precisamos escrever -278 como um quociente inteiro vezes 12 mais um resto não negativo menor que |12|=12.

Passo 2

Vamos usar o algoritmo da divisão inteira (teorema do quociente e resto): para inteiros a e b\neq0 existem inteiros únicos q e r com
a=bq+r\quad\text{e}\quad 0\le r<|b|.
Quando b>0 uma forma prática de encontrar q é tomar q=\lfloor a/b\rfloor, onde \lfloor x\rfloor é a parte inteira por defeito (o maior inteiro menor ou igual a x). Para números negativos isso significa que se a/b não for inteiro, \lfloor a/b\rfloor é menor (mais negativo) que a parte inteira por truncamento.

Passo 3

Calculemos a divisão real:
\frac{a}{b}=\frac{-278}{12}=-23{,}166\ldots
O piso (floor) desse número é
\left\lfloor\frac{-278}{12}\right\rfloor=-24.
Portanto uma boa escolha é q=-24. Agora calculamos o resto pelo rearranjo r=a-bq:
r = -278 - 12\cdot(-24).

Passo 4

Calculemos 12\cdot(-24) e r:
12\cdot(-24)=-288,
r = -278 - (-288) = -278 + 288 = 10.
Verificamos a condição do resto: 0\le 10<12 é verdadeira, então r=10 é aceitável. Também conferimos a igualdade:
12\cdot(-24)+10 = -288+10 = -278,
que bate com a.

Passo 5

Resumo didático curto: tentar q=-23 falha porque daria resto negativo ( -2). A escolha do piso \lfloor a/b\rfloor=-24 garante resto não negativo. Esse é o procedimento geral quando a é negativo e b>0.

Resposta

q=-24,\\ r=10

Exercícios relacionados