Como se expressa matemáticamente o princípio da superposição?

Passo 1

O enunciado pergunta como expressar matematicamente o princípio da superposição, que é a propriedade fundamental de sistemas (ou operadores) lineares segundo a qual a resposta a uma combinação linear de entradas é a mesma combinação linear das respostas a cada entrada isolada. Para formular isso, precisamos conhecer a definição de operador linear e suas propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Um operador (ou sistema) L é dito linear se, para quaisquer sinais (ou funções) u1 e u2 e quaisquer escalares alpha e beta, ele satisfaz dois requisitos:
  1. Aditividade:
L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2)
  1. Homogeneidade (ou escalares):
L(alpha,u1) = alpha,L(u1)

Passo 3

O princípio da superposição agrupa essas duas propriedades e afirma que, para um operador linear L, vale
Ll(alpha,u1 + beta,u2r) = alpha,L(u1) + beta,L(u2)
Isto é exatamente a combinação simultânea de aditividade e homogeneidade.

Resposta

Ll(alpha,u1 + beta,u2r) = alpha,L(u1) + beta,L(u2)

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