Seja
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as três primeiras derivadas de uma função racional:
. O conteúdo principal aqui é derivação de quociente e, nas ordens superiores, aplicação das regras de derivação em cascata (quociente ou derivação de produto após simplificações). Vamos usar explicitamente a regra do quociente e, depois, derivar o resultado passo a passo.
Passo 2
Para achar
, aplicamos a regra do quociente: derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado. Temos:
Passo 3
Para
, podemos derivar
usando a regra do quociente de novo ou a regra do produto e cadeia. Usando quociente rápido com
e
:
Passo 4
Para
, escrevemos
e usamos produto e cadeia: