Seja f(x)=x^2-1x^2+1. Calcule f^prime(x), f^prime prime(x) e f^prime prime prime(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as três primeiras derivadas de uma função racional: f(x)=x^2-1x^2+1. O conteúdo principal aqui é derivação de quociente e, nas ordens superiores, aplicação das regras de derivação em cascata (quociente ou derivação de produto após simplificações). Vamos usar explicitamente a regra do quociente e, depois, derivar o resultado passo a passo.

Passo 2

Para achar f'(x), aplicamos a regra do quociente: derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado. Temos:
f'(x)&=(2x)(x^2+1)-(x^2-1)(2x)(x^2+1)^2 &=2xl((x^2+1)-(x^2-1)r)(x^2+1)^2 &=2x(2)(x^2+1)^2=4x(x^2+1)^2

Passo 3

Para f''(x), podemos derivar f'(x)=4x(x^2+1)^-2 usando a regra do quociente de novo ou a regra do produto e cadeia. Usando quociente rápido com N=4x e D=(x^2+1)^2:
f''(x)&=4,(x^2+1)^2-4xcdot4x(x^2+1)(x^2+1)^4 &=4(x^2+1)l((x^2+1)-4x^2r)(x^2+1)^4 &=4(x^2+1)(1-3x^2)(x^2+1)^4=4(1-3x^2)(x^2+1)^3

Passo 4

Para f'''(x), escrevemos f''(x)=4(1-3x^2)(x^2+1)^-3 e usamos produto e cadeia:
f'''(x)&=[4(1-3x^2)]',(x^2+1)^-3+4(1-3x^2),[(x^2+1)^-3]' &=(-24x)(x^2+1)^-3+4(1-3x^2)(-3)(x^2+1)^-4cdot2x &=-24x(x^2+1)^3-24x(1-3x^2)(x^2+1)^4 &=-24xl((x^2+1)+(1-3x^2)r)(x^2+1)^4=-24x(2-2x^2)(x^2+1)^4 &=-48x(1-x^2)(x^2+1)^4=48x(x^2-1)(x^2+1)^4

Resposta

f'(x)=dfrac4x(x^2+1)^2, f''(x)=dfrac4(1-3x^2)(x^2+1)^3, f'''(x)=dfrac48x(x^2-1)(x^2+1)^4

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