A expressão D(m)=36 cdot m^-1,14 é as vezes usada para determinar a densidade populacional D (em espécimes por quilometro quadrado) para um animal de grande porte de massa m(em quilogramas).
Considere uma ilha com uma área de 3000 km^2. Duzentos animais de massa m=30 kg, são introduzidos na ilha, t anos mais tarde, a população é dada por p(t)=0,43 t^2+13,37 t+200. Quanto tempo é necessário para que a densidade populacional ideal seja atingida? A que taxa a população está variando quando a densidade ideal é atingida?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma fórmula que calcula a densidade populacional de um animal de grande porte com base na massa dele. A massa do animal é de 30 kg. A área da ilha é de 3000 km². Inicialmente, foram introduzidos 200 animais na ilha. A população desses animais varia com o tempo de acordo com a função $ p(t) = 0,43 t^{2} + 13,37 t + 200 $, onde $ t $ é o tempo em anos. O que a gente precisa descobrir é:
  1. Em quanto tempo a população vai atingir a densidade populacional ideal.
  2. Qual a taxa de variação da população quando essa densidade ideal for atingida.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de densidade populacional, como utilizar a função de população dada, resolver equações envolvendo potências e derivar funções para encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade populacional ideal usando a fórmula fornecida: $ D(m) = 36 \cdot m^{-1,14} $. Aqui, $ m = 30 $ kg.
Vamos substituir o valor de $ m $:
D(m) = 36 cdot m^-1,14
Para resolver isso, precisamos calcular $ 30^{-1,14} $. Lembre-se que um número elevado a um expoente negativo é igual a 1 dividido por esse número elevado ao expoente positivo:
m = 30
Então:
m
Vamos calcular $ 30^{1,14} $:
D(30) = 36 cdot 30^-1,14
Usando uma calculadora:
30^-1,14
30^-1,14 = 130^1,14
Agora substituímos de volta na fórmula:
D(30) = 36 cdot 130^1,14 é²

Passo 3

Agora que temos a densidade populacional ideal, vamos relacioná-la com a população da ilha ao longo do tempo. A densidade é dada por:
D = p(t)Área Á
Queremos que a densidade $ D $ seja igual à densidade ideal $ 0,719 $:
D
Substituindo a função $ p(t) $:
0,719
Para resolver isso, vamos multiplicar ambos os lados por 3000 para eliminar o denominador:
p(t)3000 = 0,719
p(t)
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
0,43 t^2 + 13,37 t + 2003000 = 0,719
0,43 t^2 + 13,37 t + 200 = 0,719 times 3000

Passo 4

Temos agora uma equação quadrática na forma $ at^{2} + bt + c = 0 $:
at^2 + bt + c = 0
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
0,43 t^2 + 13,37 t - 1957 = 0
Onde:
  • $ a = 0,43 $
  • $ b = 13,37 $
  • $ c = -1957 $
Vamos calcular o discriminante $ \Delta $:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 0,43
b = 13,37
c = -1957
Agora, vamos calcular as raízes:
De
De
Vamos considerar apenas a raiz positiva, já que o tempo não pode ser negativo:
De
De
De

Passo 5

Vamos calcular a taxa de variação da população no momento em que a densidade ideal é atingida. Isso significa que precisamos encontrar a derivada da função $ p(t) $ em relação ao tempo, $ p’(t) $, e avaliar em $ t = 53,6 $.
A função dada é:
p(t)
Derivando:
p'(t)
t = 53,6
p(t) = 0,43 t^2 + 13,37 t + 200
Agora, substituímos $ t = 53,6 $:
p'(t) = ddt(0,43 t^2) + ddt(13,37 t) + ddt(200)
p'(t) = 2 times 0,43 t + 13,37 + 0
p'(t) = 0,86 t + 13,37 é

Passo 6

Pronto! Resolvi todas as partes do exercício explicando cada passo com calma para que fique fácil de entender.

Resposta

Conforme explicado, o tempo necessário para atingir a densidade populacional ideal é de aproximadamente 53,6 anos, e a taxa de variação da população nesse momento é de cerca de 59,47 espécimes por ano.

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