A expressão
é as vezes usada para determinar a densidade populacional
(em espécimes por quilometro quadrado) para um animal de grande porte de massa m(em quilogramas).
Considere uma ilha com uma área de
. Duzentos animais de massa
, são introduzidos na ilha, t anos mais tarde, a população é dada por
. Quanto tempo é necessário para que a densidade populacional ideal seja atingida? A que taxa a população está variando quando a densidade ideal é atingida?
Considere uma ilha com uma área de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma fórmula que calcula a densidade populacional de um animal de grande porte com base na massa dele. A massa do animal é de 30 kg. A área da ilha é de 3000 km². Inicialmente, foram introduzidos 200 animais na ilha. A população desses animais varia com o tempo de acordo com a função $ p(t) = 0,43 t^{2} + 13,37 t + 200 $, onde $ t $ é o tempo em anos. O que a gente precisa descobrir é:
- Em quanto tempo a população vai atingir a densidade populacional ideal.
- Qual a taxa de variação da população quando essa densidade ideal for atingida.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de densidade populacional, como utilizar a função de população dada, resolver equações envolvendo potências e derivar funções para encontrar taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade populacional ideal usando a fórmula fornecida: $ D(m) = 36 \cdot m^{-1,14} $. Aqui, $ m = 30 $ kg.
Vamos substituir o valor de $ m $:
Para resolver isso, precisamos calcular $ 30^{-1,14} $. Lembre-se que um número elevado a um expoente negativo é igual a 1 dividido por esse número elevado ao expoente positivo:
Então:
Vamos calcular $ 30^{1,14} $:
Usando uma calculadora:
Agora substituímos de volta na fórmula:
Passo 3
Agora que temos a densidade populacional ideal, vamos relacioná-la com a população da ilha ao longo do tempo. A densidade é dada por:
Queremos que a densidade $ D $ seja igual à densidade ideal $ 0,719 $:
Substituindo a função $ p(t) $:
Para resolver isso, vamos multiplicar ambos os lados por 3000 para eliminar o denominador:
Agora, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Passo 4
Temos agora uma equação quadrática na forma $ at^{2} + bt + c = 0 $:
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 0,43 $
- $ b = 13,37 $
- $ c = -1957 $
Vamos calcular o discriminante $ \Delta $:
Agora, vamos calcular as raízes:
Vamos considerar apenas a raiz positiva, já que o tempo não pode ser negativo:
Passo 5
Vamos calcular a taxa de variação da população no momento em que a densidade ideal é atingida. Isso significa que precisamos encontrar a derivada da função $ p(t) $ em relação ao tempo, $ p’(t) $, e avaliar em $ t = 53,6 $.
A função dada é:
Derivando:
Agora, substituímos $ t = 53,6 $:
Passo 6
Pronto! Resolvi todas as partes do exercício explicando cada passo com calma para que fique fácil de entender.
Resposta
Conforme explicado, o tempo necessário para atingir a densidade populacional ideal é de aproximadamente 53,6 anos, e a taxa de variação da população nesse momento é de cerca de 59,47 espécimes por ano.