Uma toxina é introduzida em uma colônia de bactérias, t horas mais tarde, a população é dada pela equação
. Determine:
Em que instante a população passa por um máximo? Qual é o valor deste máximo?
Em que instante a população passa por um máximo? Qual é o valor deste máximo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma toxina foi introduzida em uma colônia de bactérias, e a população das bactérias após $ t $ horas é dada por:
Nosso objetivo aqui é descobrir em que momento (isto é, em qual valor de $ t $) a população atinge o seu máximo e qual é esse valor máximo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente, vamos encontrar a derivada da função $ N(t) $ em relação a $ t $ e ver onde essa derivada é zero, indicando um ponto de máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ N(t) $ em relação a $ t $, que será denominada $ N’(t) $. A derivada nos dá a taxa de variação da população em relação ao tempo. Se encontrarmos onde essa taxa é zero, estaremos identificando pontos onde a população deixa de crescer e começa a diminuir, ou vice-versa. Esses pontos são potenciais candidatos para máximos ou mínimos.
A função que temos é um produto de duas funções: $ (8 + t) $ e $ \mathrm{e}^{-0,1t} $. Para derivar isso, vamos usar a Regra do Produto, que diz que:
onde $ u = (8 + t) $ e $ v = \mathrm{e}^{-0,1t} $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas individuais:
-
Derivada de $ u = (8 + t) $:
-
Derivada de $ v = \mathrm{e}^{-0,1t} $:
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o valor de $ t $ que faz $ N’(t) = 0 $. Como $ 10.000 $ e $ \mathrm{e}^{-0,1t} $ nunca são zero, podemos focar na expressão dentro dos parênteses:
Resolvendo para $ t $:
Então, $ t = 2 $ horas é o instante onde a derivada é zero, indicando um ponto crítico que pode ser um máximo.
Passo 5
Para termos certeza de que $ t = 2 $ horas realmente corresponde a um máximo, podemos observar o comportamento da derivada antes e depois desse ponto:
-
Para $ t < 2 $, digamos $ t = 1 $:A derivada é positiva, indicando que a população está crescendo.
-
Para $ t > 2 $, digamos $ t = 3 $:A derivada é negativa, indicando que a população está diminuindo.
Como a derivada muda de positiva para negativa em $ t = 2 $, isso confirma que é um ponto de máximo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor máximo da população substituindo $ t = 2 $ na função $ N(t) $:
Calculando $ \mathrm{e}^{-0,2} $ (aproximadamente 0,8187):
Resposta
A população atinge o seu máximo às $ 2 $ horas, com um valor máximo de aproximadamente $ 81.870 $ bactérias.