Esboce as funções abaixo e encontre sua transformada de Laplace:
f(t)=(t-3) H2(t)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a função
e calcular sua transformada de Laplace. Aqui
Vamos usar o teorema do deslocamento na transformada de Laplace (segundo teorema do degrau) para funções do tipo (g(t-2),H_{2}(t)].

Passo 2

Para esboçar f(t), note que:
  • Se t<2, então H2(t)=0 e f(t)=0.
  • Se t>=2, então H2(t)=1 e f(t)=t-3.
Em t=2 temos f(2)=2-3=-1. Para t>2, é uma reta de inclinação 1 que passa por (2,-1). Para t<2 a função é zero.

Passo 3

Reescrevemos f(t) de modo a aplicar o teorema do deslocamento:
t-3 = (t-2)-1,
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f(t) = (t-3),H2(t) = l((t-2)-1r),H2(t)
Definimos
g(tau)=tau-1, tau>=0,
de modo que
f(t)=g(t-2),H2(t)

Passo 4

Pelo teorema do deslocamento,
Lg(t-2),H2(t)(s) = e^-2s,Lg(tau)(s)
Agora calculemos
Lg(tau)(s) =integral0^infty(tau-1),e^-stau,dtau =integral0^inftytau,e^-stau,dtau -integral0^infty1cdot e^-stau,dtau
Sabendo que
integral0^inftytau,e^-stau,dtau=1s^2, integral0^inftye^-stau,dtau=1s,
temos
Lg(tau)(s) =1s^2-1s

Passo 5

Substituindo no teorema do deslocamento, obtemos
Lf(t)(s) =e^-2s,l(1s^2-1sr)

Resposta

L(t-3),H2(t)(s) = e^-2s,l(1s^2-1sr)

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