A expressão é o n^ ésimo é termo an de uma sequência an. Ache os quatro primeiros termos e lim n infty an, se existir.
7-4 n^23+2 n^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com a sequência cujo termo geral é dado por an = 7 - 4n^23 + 2n^2. O conteúdo aqui é estudo de sequências numéricas: primeiro vamos calcular os quatro primeiros termos “plugando” n=1,2,3,4 na fórmula; em seguida, vamos usar comparação de graus de polinômios para achar o limite quando ntoinfty.

Passo 2

Para n=1 e n=2, substituímos na expressão:
a1 = 7 - 4cdot1^23 + 2cdot1^2 = 7 - 43 + 2 = 35,
a2 = 7 - 4cdot2^23 + 2cdot2^2 = 7 - 163 + 8 = -911

Passo 3

Para n=3 e n=4, fazemos o mesmo:
a3 = 7 - 4cdot3^23 + 2cdot3^2 = 7 - 363 + 18 = -2921,
a4 = 7 - 4cdot4^23 + 2cdot4^2 = 7 - 643 + 32 = -5735

Passo 4

Para encontrar limntoinfty an, observamos que o numerador é um polinômio de grau 2 com coeficiente principal -4 e o denominador é de grau 2 com coeficiente principal 2. Quando n cresce muito, os termos de maior grau dominam, então
limntoinfty an = -42 = -2

Resposta

Os quatro primeiros termos são a1 = 3/5, a2 = -9/11, a3 = -29/21 e a4 = -57/35. O limite é limntoinftyan = -2.

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