A expressão é o n^ ésimo é termo an de uma sequência an. Ache os quatro primeiros termos e lim n infty an, se existir.
(-1)^n+11 3 nn^2+4 n+5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os quatro primeiros termos e o limite da sequência definida por an = (-1)^n+11dfrac3nn^2+4n+5. O conteúdo envolve substituição direta para calcular termos iniciais e análise de limite de sequência, usando o fato de que uma fração do tipo tfracP(n)Q(n) com grau de Q maior tende a zero.

Passo 2

Para obter a1,a2,a3,a4, basta substituir n=1,2,3,4 em an:
Para n=1: o expoente é 1+11=12, logo (-1)^12=+1 e
a1 = 1 cdot 3cdot11^2+4cdot1+5 = 310
Para n=2: o expoente é 13, logo (-1)^13=-1 e
a2 = -1 cdot 3cdot22^2+4cdot2+5 = -617
Para n=3: (-1)^14=+1 e
a3 = 1 cdot 3cdot33^2+4cdot3+5 = 926
Para n=4: (-1)^15=-1 e
a4 = -1 cdot 3cdot44^2+4cdot4+5 = -1237

Passo 3

Para o limite ntoinfty, observe que
3nn^2+4n+5sim 3nn^2 = 3n,
o que tende a zero quando ntoinfty. Além disso, (-1)^n+11 oscila entre +1 e -1, ou seja, é um fator limitado. Pelo teorema do produto de sequências, como uma delas tende a zero e a outra é limitada, o produto tende a zero. Portanto,
limntoinfty an = 0

Resposta

a1 = tfrac310, a2 = -tfrac617, a3 = tfrac926, a4 = -tfrac1237, e limntoinfty an = 0

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