A expressão é o n^ ésimo é termo an de uma sequência an. Ache os quatro primeiros termos e lim n infty an, se existir.
(2 n-1)(3 n+1)n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os quatro primeiros termos da sequência definida por an=(2n-1)(3n+1)n^3+1 e depois calcular limntoinftyan. Vamos usar substituição direta para os primeiros termos e o conceito de dominância de grau em limites de polinômios.

Passo 2

Para calcular os quatro primeiros termos, substituímos n=1,2,3,4:
  • a1=(2cdot1-1)(3cdot1+1)1^3+1=1cdot42=2.
  • a2=(2cdot2-1)(3cdot2+1)2^3+1=3cdot79=73.
  • a3=(2cdot3-1)(3cdot3+1)3^3+1=5cdot1028=2514.
  • a4=(2cdot4-1)(3cdot4+1)4^3+1=7cdot1365=75.

Passo 3

Para o limite quando ntoinfty, note que o numerador é um polinômio de grau 2 (com termo dominante 6n^2) e o denominador é de grau 3 (com termo dominante n^3). Logo, por dominância de grau em limites de polinômios,

Passo 4

limntoinftyan=limntoinfty6n^2+(termos menores)n^3+1=0

Resposta

Os quatro primeiros termos são 2, tfrac73, tfrac2514 e tfrac75. O limite limntoinftyan é 0.

Exercícios relacionados