Determine se cada das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, não há necessidade de justificativa.
a) A velocidade de uma onda é determinada pela fonte harmônica que preserva a frequência original.
b) O comprimento de onda de uma onda fica inalterado quando a onda quando há uma mudança no meio de propagação.
c) A soma de ondas harmônicas de mesma frequência produz uma onda harmônica que preserva a frequência original.

Passo 1

O enunciado pede para dizer se cada uma das três afirmações é verdadeira ou falsa. As três afirmações são:
a) A velocidade de uma onda é determinada pela fonte harmônica que preserva a frequência original.
b) O comprimento de onda de uma onda fica inalterado quando a onda quando há uma mudança no meio de propagação.
c) A soma de ondas harmônicas de mesma frequência produz uma onda harmônica que preserva a frequência original.
Não há outros dados numéricos — é uma análise qualitativa sobre ondas.

Passo 2

Vamos recordar a forma mais comum de uma onda harmônica simples (para ensinar bem o básico). Uma onda progressiva unidimensional pode ser escrita como
y(x,t)=A\cos\big(kx-\omega t+\varphi\big),
onde:
  • A é a amplitude (o “tamanho” das oscilações);
  • k é o número de onda, dado por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}, onde \lambda é o comprimento de onda;
  • \omega é a frequência angular, \omega=2\pi f, onde f é a frequência (em Hz);
  • \varphi é a fase inicial (um deslocamento de fase);
  • x é a posição e t é o tempo.
A relação entre velocidade de propagação v, frequência f e comprimento de onda \lambda é central:
v = f\lambda.
Em termos de \omega e k:
v=\frac{\omega}{k}.
Essa relação diz que, para uma dada frequência, se a velocidade muda, o comprimento de onda também muda e vice-versa.

Passo 3

Explicando quem determina o quê (para responder a (a)):
  • A fonte (o gerador da onda) tipicamente determina a frequência f da oscilação que ela impõe. Por exemplo, um diapasão vibra a uma frequência fixa.
  • A velocidade de propagação v depende do meio material (propriedades como densidade e elasticidade para ondas mecânicas; permissividade/permeabilidade para ondas eletromagnéticas em meios materiais). Ou seja, para ondas mecânicas numa corda v=\sqrt{T/\mu} (onde T é tensão e \mu densidade linear), para ondas sonoras v depende da temperatura e do tipo de gás, etc.
    Portanto, a velocidade não é determinada pela fonte, mas pelo meio. A fonte determina a frequência; o meio determina v. Conclusão para (a): a afirmação é falsa.

Passo 4

Explicando mudança de meio (para responder a (b)):
Quando uma onda atravessa de um meio para outro:
  • A condição de contorno temporais (continuidade obrigatória das oscilações no instante da passagem) faz com que a frequência f permaneça a mesma imediatamente na fronteira (a fonte “impõe” a frequência e essa é a mesma de ambos os lados da fronteira).
  • Como v geralmente muda ao mudar o meio, pela relação v=f\lambda o comprimento de onda \lambda necessariamente muda. Em símbolos: se v_1 e v_2 são velocidades nos dois meios e f é o mesmo, então
\lambda_1=\frac{v_1}{f},\qquad \lambda_2=\frac{v_2}{f},
e \lambda_1\neq\lambda_2 se v_1\neq v_2. Logo o comprimento de onda não fica inalterado quando há mudança de meio (salvo no caso especial em que v coincidentemente não muda). Conclusão para (b): a afirmação é falsa.

Passo 5

Agora a soma de ondas harmônicas (para responder a (c)). Considere duas ondas harmônicas com mesma frequência f (ou mesma \omega), possivelmente com amplitudes e fases diferentes:
y_1(x,t)=A_1\cos\big(kx-\omega t+\varphi_1\big),
y_2(x,t)=A_2\cos\big(kx-\omega t+\varphi_2\big).
A soma pela superposição linear é
y(x,t)=y_1+y_2.
Usando identidade trigonométrica (ou somando vetorialmente as amplitudes complexas) obtém-se uma única função cosenoidal com a mesma frequência \omega:
y(x,t)=A\cos\big(kx-\omega t+\varphi\big),
onde A e \varphi são obtidos a partir de A_1,A_2,\varphi_1,\varphi_2. Uma maneira rápida de ver isso é escrever as ondas como partes reais de exponenciais complexas e somá-las; o fator temporal \mathrm{e}^{-i\omega t} é comum, logo a dependência temporal mantém a mesma \omega. Portanto a soma é uma onda harmônica com a mesma frequência (mas com amplitude e fase resultantes). Conclusão para (c): a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Resumo didático e recado rápido de prova: memorize a relação v=f\lambda. Pergunte-se sempre: a fonte fixa f? sim. O meio fixa v? sim. Logo se o meio muda, \lambda muda. E somas de senos/cossenos de mesma frequência continuam senos/cossenos da mesma frequência — só a amplitude/fase mudam. Força aí, dá pra gabaritar!

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira

Exercícios relacionados