Uma onda transversal propaga-se no sentido positivo do eixo x com velocidade de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, amolitude de 5,0 \mathrm{~cm} e frequencia igual a 20 Hz . Suponha que esta onda se some a una segunda onda, de mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e velocidade, mas com uma diferença de fase igual a \pi / 3. Obtenha a expressão para a onda resultante.

Passo 1

O enunciado pede a expressão da onda resultante da superposição de duas ondas transversais. Dados fornecidos:
  • velocidade de propagação: v=1{,}0\\ \text{m/s};
  • amplitude de cada onda: 5{,}0\\ \text{cm};
  • frequência: f=20\\ \text{Hz};
  • as duas ondas têm mesmo comprimento de onda e velocidade;
  • diferença de fase entre as ondas: \varphi=\pi/3;
  • sentido de propagação: sentido positivo do eixo x.
O que se quer: a função y(x,t) que descreve a onda resultante da soma das duas ondas dadas.

Passo 2

Primeiro converto unidades e calculo quantidades derivadas importantes (vou explicando as fórmulas usadas):
  • amplitude em unidades SI: A=5{,}0\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m}.
  • frequência angular (é a velocidade angular da oscilação no tempo). A relação é
\omega = 2\pi f.
Substituindo f=20:
\omega = 2\pi\cdot20 = 40\pi\\ \text{rad/s}.
  • comprimento de onda (é a distância entre cristas sucessivas). A relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
v = \lambda f \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{v}{f}.
Substituindo v=1{,}0 e f=20:
\lambda = \frac{1{,}0}{20} = 0{,}05\\ \text{m}.
  • número de onda (indica variação espacial da fase) é
k = \frac{2\pi}{\lambda}.
Com \lambda=0{,}05:
k = \frac{2\pi}{0{,}05} = 40\pi\\ \text{rad/m}.
Observação rápida: aqui \omega e k ficaram numericamente iguais ( 40\pi) porque v=1{,}0 e \omega/k=v.

Passo 3

Agora escrevo as equações das duas ondas individuais. Para uma onda harmônica que se propaga no sentido positivo de x usa-se a forma (com fase dependente de x e t):
y(x,t)=A\cos\big(kx-\omega t + \varphi\big),
onde A é a amplitude, k o número de onda, \omega a frequência angular e \varphi é uma fase inicial fixa.
Escolho a primeira onda sem fase inicial ( \varphi_1=0) e a segunda deslocada em fase por \varphi=\pi/3 (segundo o enunciado). Assim:
y_1(x,t)=A\cos\big(kx-\omega t\big),
y_2(x,t)=A\cos\big(kx-\omega t + \varphi\big),
com A=0{,}05\\ \text{m}, k=40\pi e \omega=40\pi, \varphi=\pi/3.

Passo 4

Somamos y_1 e y_2. Vou usar a identidade trigonométrica de soma de cossenos:
\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\!\bigg(\frac{\alpha+\beta}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{\alpha-\beta}{2}\bigg).
Aqui tomo \alpha = kx-\omega t e \beta = kx-\omega t + \varphi. Então
\frac{\alpha+\beta}{2} = kx-\omega t + \frac{\varphi}{2},
\frac{\alpha-\beta}{2} = -\frac{\varphi}{2}.
Como \cos(-\theta)=\cos\theta, temos ao somar:
y(x,t)=y_1+y_2 = 2A\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)\cos\!\bigg(kx-\omega t + \frac{\varphi}{2}\bigg).
Isto mostra que a soma de duas ondas com mesma A,k,\omega e diferença de fase \varphi é uma única onda com:
  • amplitude resultante A_{\text{res}} = 2A\cos(\varphi/2);
  • mesma dependência \cos(kx-\omega t) mas com fase adicional \varphi/2.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos para obter a expressão final.
Calculo \cos(\varphi/2) com \varphi=\pi/3:
\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)=\cos\!\bigg(\frac{\pi}{6}\bigg)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
A amplitude resultante é
A_{\text{res}} = 2A\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg) = 2\cdot0{,}05\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 0{,}05\sqrt{3}\\ \text{m}.
Em centímetros isso é 0{,}05\sqrt{3}\times100 = 5\sqrt{3}\\ \text{cm}\approx 8{,}66\\ \text{cm}.
A fase adicional é \varphi/2=\pi/6.
Portanto a onda resultante é
y(x,t)=0{,}05\sqrt{3}\,\cos\!\big(40\pi x - 40\pi t + \tfrac{\pi}{6}\big)\quad\text{(em metros)}.

Passo 6

Interpretação rápida (útil pra prova): a soma de duas ondas idênticas com diferença de fase \varphi produz uma onda única com amplitude multiplicada por 2\cos(\varphi/2) e com deslocamento de fase \varphi/2. Se \varphi=0 há interferência construtiva total ( A_{\text{res}}=2A); se \varphi=\pi há cancelamento ( A_{\text{res}}=0). Neste problema \varphi=\pi/3 dá uma amplificação parcial para 0{,}05\sqrt{3}\\ \text{m}.

Resposta

y(x,t)=0{,}05\sqrt{3}\,\cos\!\big(40\pi x - 40\pi t + \tfrac{\pi}{6}\big)\\ \text{(m)}

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