Uma onda transversal propaga-se no sentido positivo do eixo
com velocidade de
, amolitude de
e frequencia igual a 20 Hz . Suponha que esta onda se some a una segunda onda, de mesma frequência, amplitude, comprimento de onda e velocidade, mas com uma diferença de fase igual a
. Obtenha a expressão para a onda resultante.
Passo 1
O enunciado pede a expressão da onda resultante da superposição de duas ondas transversais. Dados fornecidos:
- velocidade de propagação:
; - amplitude de cada onda:
; - frequência:
; - as duas ondas têm mesmo comprimento de onda e velocidade;
- diferença de fase entre as ondas:
; - sentido de propagação: sentido positivo do eixo
.
O que se quer: a função
que descreve a onda resultante da soma das duas ondas dadas.
Passo 2
Primeiro converto unidades e calculo quantidades derivadas importantes (vou explicando as fórmulas usadas):
-
amplitude em unidades SI:
. -
frequência angular (é a velocidade angular da oscilação no tempo). A relação é
Substituindo
:
- comprimento de onda (é a distância entre cristas sucessivas). A relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
Substituindo
e
:
- número de onda (indica variação espacial da fase) é
Com
:
Observação rápida: aqui
e
ficaram numericamente iguais (
) porque
e
.
Passo 3
Agora escrevo as equações das duas ondas individuais. Para uma onda harmônica que se propaga no sentido positivo de
usa-se a forma (com fase dependente de
e
):
onde
é a amplitude,
o número de onda,
a frequência angular e
é uma fase inicial fixa.
Escolho a primeira onda sem fase inicial (
) e a segunda deslocada em fase por
(segundo o enunciado). Assim:
com
,
e
,
.
Passo 4
Somamos
e
. Vou usar a identidade trigonométrica de soma de cossenos:
Aqui tomo
e
. Então
Como
, temos ao somar:
Isto mostra que a soma de duas ondas com mesma
e diferença de fase
é uma única onda com:
- amplitude resultante
; - mesma dependência
mas com fase adicional .
Passo 5
Agora substituo os valores numéricos para obter a expressão final.
Calculo
com
:
A amplitude resultante é
Em centímetros isso é
.
A fase adicional é
.
Portanto a onda resultante é
Passo 6
Interpretação rápida (útil pra prova): a soma de duas ondas idênticas com diferença de fase
produz uma onda única com amplitude multiplicada por
e com deslocamento de fase
. Se
há interferência construtiva total (
); se
há cancelamento (
). Neste problema
dá uma amplificação parcial para
.