Qual expressāo melhor define o campo elétrico de uma barra, com densidade linear de carga \lambda uniforme, quando a distância do ponto observação ( x ) é muito pequena comparada com o comprimento total da barra?
Escolha uma opção:
◯ a.
|\vec{E}| \cong \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 \lambda}{x^{2}}
◯ b.
|\vec{E}| \cong \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 \lambda}{x}
◯ c.
|\vec{E}| \cong \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 \lambda}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado dá uma barra com densidade linear de carga uniforme \lambda e pede qual expressão melhor descreve o módulo do campo elétrico em um ponto cuja distância x à barra é muito pequena em comparação com o comprimento total da barra. Ou seja, estamos no limite
x \ll L,
onde L é o comprimento da barra (fornecido implicitamente). As opções são:
\text{(a)}\quad |\vec{E}| \cong \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2\lambda}{x^{2}}, \qquad \text{(b)}\quad |\vec{E}| \cong \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2\lambda}{x}, \qquad \text{\text{(c)}}\quad |\vec{E}| \cong \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2\lambda}{x^{3}}.
O que se pede: identificar qual dessas expressões representa corretamente |\vec{E}| no limite x\ll L.

Passo 2

Intuição física e escolha do modelo: quando x é muito menor que L, a porção da barra muito próxima ao ponto observado “vê” a barra como efetivamente infinita — as extremidades estão muito longe para alterar a simetria local. Portanto, podemos aproximar a barra por uma linha carregada infinita e usar a fórmula do campo de uma linha infinita uniforme. Essa aproximação é padrão e faz o problema ficar simples.

Passo 3

Apresentando a ferramenta: Lei de Gauss. A Lei de Gauss em forma integral diz:
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde \oint_{\mathcal{S}}\vec{E}\cdot d\vec{A} é o fluxo elétrico através da superfície fechada \mathcal{S}, Q_{\text{int}} é a carga total contida em \mathcal{S}, e \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo. Vou aplicar isso escolhendo uma superfície que tire proveito da simetria (simetria cilíndrica da linha infinita).

Passo 4

Escolha da superfície gaussiana e cálculo do fluxo. Para uma linha infinita de carga, escolhe-se um cilindro coaxial de raio r (a distância radial ao ponto) e comprimento arbitrário l. Aqui identificamos r=x. Pela simetria:
  • \vec{E} é radial e tem módulo constante sobre a superfície lateral do cilindro;
  • o fluxo pelas tampas circulares do cilindro é zero porque \vec{E} é paralela às tampas (direção radial) e, portanto, \vec{E}\cdot d\vec{A}=0 nas tampas.
    O fluxo total atravessando a superfície é somente através da superfície lateral com área A_{\text{lat}}=2\pi r l. Assim:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E\cdot(2\pi r l).
A carga encerrada pelo cilindro é
Q_{\text{int}}=\lambda\, l,
porque \lambda é carga por unidade de comprimento e o comprimento considerado é l.

Passo 5

Aplicando Gauss e resolvendo para E:
E\cdot(2\pi r l)=\frac{\lambda l}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\, r}.
Substituindo r=x (a distância do ponto à barra) obtemos
|\vec{E}|=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\, x}.
Agora escrevendo com o fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} presente nas opções:
|\vec{E}|=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2\lambda}{x}.

Passo 6

Comparação com as opções: a expressão encontrada corresponde exatamente à opção (b). As opções (a) e (c) têm dependências em x incompatíveis com a simetria cilíndrica (e com as unidades físicas corretas) para uma linha infinita: o campo de uma linha infinita escala como 1/x, não como 1/x^{2} nem 1/x^{3}.
Conclusão final (dica de prova): quando x\ll L tratar a barra como aproximadamente infinita e usar Gauss é a maneira mais rápida e segura. Anote sempre a simetria antes de escolher a superfície gaussiana; isso economiza tempo na prova.

Resposta

b. \displaystyle |\vec{E}| \cong \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{2\lambda}{x}

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