Qual expressāo melhor define o campo elétrico de uma barra, com densidade linear de carga
uniforme, quando a distância do ponto observação ( x ) é muito pequena comparada com o comprimento total da barra?
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ a.
Passo 1
O enunciado dá uma barra com densidade linear de carga uniforme
e pede qual expressão melhor descreve o módulo do campo elétrico em um ponto cuja distância
à barra é muito pequena em comparação com o comprimento total da barra. Ou seja, estamos no limite
onde
é o comprimento da barra (fornecido implicitamente). As opções são:
O que se pede: identificar qual dessas expressões representa corretamente
no limite
.
Passo 2
Intuição física e escolha do modelo: quando
é muito menor que
, a porção da barra muito próxima ao ponto observado “vê” a barra como efetivamente infinita — as extremidades estão muito longe para alterar a simetria local. Portanto, podemos aproximar a barra por uma linha carregada infinita e usar a fórmula do campo de uma linha infinita uniforme. Essa aproximação é padrão e faz o problema ficar simples.
Passo 3
Apresentando a ferramenta: Lei de Gauss. A Lei de Gauss em forma integral diz:
onde
é o fluxo elétrico através da superfície fechada
,
é a carga total contida em
, e
é a permissividade elétrica do vácuo. Vou aplicar isso escolhendo uma superfície que tire proveito da simetria (simetria cilíndrica da linha infinita).
Passo 4
Escolha da superfície gaussiana e cálculo do fluxo. Para uma linha infinita de carga, escolhe-se um cilindro coaxial de raio
(a distância radial ao ponto) e comprimento arbitrário
. Aqui identificamos
. Pela simetria:
-
é radial e tem módulo constante sobre a superfície lateral do cilindro; - o fluxo pelas tampas circulares do cilindro é zero porque
é paralela às tampas (direção radial) e, portanto, nas tampas.
O fluxo total atravessando a superfície é somente através da superfície lateral com área. Assim:
A carga encerrada pelo cilindro é
porque
é carga por unidade de comprimento e o comprimento considerado é
.
Passo 5
Aplicando Gauss e resolvendo para
:
Substituindo
(a distância do ponto à barra) obtemos
Agora escrevendo com o fator
presente nas opções:
Passo 6
Comparação com as opções: a expressão encontrada corresponde exatamente à opção (b). As opções (a) e (c) têm dependências em
incompatíveis com a simetria cilíndrica (e com as unidades físicas corretas) para uma linha infinita: o campo de uma linha infinita escala como
, não como
nem
.
Conclusão final (dica de prova): quando tratar a barra como aproximadamente infinita e usar Gauss é a maneira mais rápida e segura. Anote sempre a simetria antes de escolher a superfície gaussiana; isso economiza tempo na prova.
Conclusão final (dica de prova): quando
Resposta
b.