Como se comporta o campo elétrico nas proximidades de uma placa (em forma de disco), muito grande, com carga distribuida de forma uniforme por sua superficie?
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b. zero
◯ c.
◯ d. constante
◯ a.
◯ b. zero
◯ c.
◯ d. constante
Passo 1
O enunciado pergunta: “Como se comporta o campo elétrico nas proximidades de uma placa (em forma de disco), muito grande, com carga distribuída de forma uniforme por sua superfície?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A placa tem a forma de disco.
- A placa é “muito grande” (ou seja, o raio do disco é muito maior que a distância considerada).
- A carga está distribuída de maneira uniforme sobre a superfície da placa; denota-se a densidade superficial por
. - Pede-se o comportamento do campo elétrico perto da placa; as opções são:
- (a)
- (b) zero
- (c)
- (d) constante
- (a)
Passo 2
Intuição rápida sobre os tipos de decaimento apresentados (sem calcular ainda):
- Comportamento
é típico de uma carga puntiforme (campo de Coulomb). - Comportamento
aparece para distribuições lineares (fio infinito). - Comportamento constante aparece para uma distribuição bidimensional infinita (plano infinito) por razões de simetria/fluxo.
- “Zero” poderia ocorrer no interior de um condutor carregado (campo interno nulo), mas aqui a pergunta fala da placa e do campo nas proximidades da superfície, não do interior de um condutor. Vamos verificar com método físico-matemático qual desses casos vale.
Passo 3
Apresentação da lei de Gauss (ferramenta central que vamos usar) e explicação das quantidades:
Explicação:
-
é o campo elétrico vetorial. -
é o vetor área elementar, com magnitude igual à área do elemento e direção normal à superfície (para superfícies fechadas, o sinal segue a orientação externa). -
é a carga total contida dentro da superfície fechada escolhida. -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
Essa lei diz que o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga dentro dela dividida por. Para distribuições com alta simetria (plano, cilindro, esfera) esta lei permite obter de forma simples.
Passo 4
Aplicação de Gauss ao caso de uma placa muito grande — hipótese de simetria:
- Se a placa é muito grande, nas proximidades dela (isto é, em distâncias
muito menores que o raio do disco) o campo próximo ao centro é praticamente o mesmo que o de uma lâmina infinita com densidade superficial . - Por simetria, o campo deve ser perpendicular à placa e ter o mesmo módulo em todos os pontos a uma mesma distância para ambos os lados do plano. Então podemos assumir
uniforme e normal ao plano nas proximidades.
Passo 5
Escolha da superfície de Gauss (o “pílula” ou cilíndro de Gauss) e cálculo:
- Escolhe-se um cilindro com faces planas paralelas à placa (área de cada face
) e pequena altura cruzando a placa, de forma que a placa atravesse o cilindro no meio. A lateral do cilindro é paralela ao campo, então a contribuição de fluxo pela lateral é zero. - Fluxo total pelo cilindro: contribuem apenas as duas faces planas, cada uma com fluxo
(valores do campo nas faces são iguais por simetria). Portanto o fluxo total é . - Carga encerrada pelo cilindro: a placa tem carga superficial
, então a carga dentro do cilindro é . - Aplicando Gauss:
- Simplificando
:
Passo 6
Interpretação do resultado obtido com Gauss:
- A expressão
não contém a distância . Isso mostra que, para uma lâmina idealmente infinita com carga superficial uniforme, o módulo do campo elétrico é constante e independe da distância ao plano (pelo menos enquanto estivermos na região onde a aproximação de plano infinito vale). - O campo aponta perpendicularmente para fora (ou para dentro) dependendo do sinal de
.
Passo 7
Comentário sobre placas reais (disco muito grande, caso prático) — cálculo via superposição para o disco finito:
- Para um disco de raio
com densidade , o campo no eixo a uma distância do centro (do lado de uma face) é
Breve derivação da fórmula (esquemática):
- Modela-se o disco como somatório de anéis concêntricos. Um anel de raio
e espessura tem carga . - O campo axial de um anel a distância
é proporcional a . - Integrando
de a e fazendo as manipulações (substituição ), obtém-se a fórmula acima. (Os passos integrais podem ser seguidos se quiser, mas o resultado final é este.) - Agora, para um disco “muito grande” e pontos nas proximidades (ou seja,
ou tomando com fixo), tem-se
o que confirma a previsão da lei de Gauss: nas proximidades da placa grande o campo é essencialmente constante.
Passo 8
Comparação com as alternativas e conclusão final do raciocínio (sem repetir a letra da alternativa nesta etapa):
- O campo não decai como
(caso puntiforme) nem como (caso linear). - Não é zero nas proximidades da superfície carregada (a menos que seja o interior de um condutor, o que não foi especificado aqui).
- Pelo cálculo e pela fórmula do disco, o campo próximo à placa grande é independente de
, isto é, constante.
Resposta
(d)