Como se comporta o campo elétrico nas proximidades de uma placa (em forma de disco), muito grande, com carga distribuida de forma uniforme por sua superficie?
Escolha uma opção:
◯ a. \sim 1 / x
◯ b. zero
◯ c. \sim 1 / x^{2}
◯ d. constante

Passo 1

O enunciado pergunta: “Como se comporta o campo elétrico nas proximidades de uma placa (em forma de disco), muito grande, com carga distribuída de forma uniforme por sua superfície?”\n
Informações dadas:
  • A placa tem a forma de disco.
  • A placa é “muito grande” (ou seja, o raio do disco é muito maior que a distância considerada).
  • A carga está distribuída de maneira uniforme sobre a superfície da placa; denota-se a densidade superficial por \sigma.
  • Pede-se o comportamento do campo elétrico perto da placa; as opções são:
    • (a) \sim 1/x
    • (b) zero
    • (c) \sim 1/x^{2}
    • (d) constante

Passo 2

Intuição rápida sobre os tipos de decaimento apresentados (sem calcular ainda):
  • Comportamento \sim 1/x^{2} é típico de uma carga puntiforme (campo de Coulomb).
  • Comportamento \sim 1/x aparece para distribuições lineares (fio infinito).
  • Comportamento constante aparece para uma distribuição bidimensional infinita (plano infinito) por razões de simetria/fluxo.
  • “Zero” poderia ocorrer no interior de um condutor carregado (campo interno nulo), mas aqui a pergunta fala da placa e do campo nas proximidades da superfície, não do interior de um condutor. Vamos verificar com método físico-matemático qual desses casos vale.

Passo 3

Apresentação da lei de Gauss (ferramenta central que vamos usar) e explicação das quantidades:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_0}.
Explicação:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico vetorial.
  • d\mathbf{A} é o vetor área elementar, com magnitude igual à área do elemento e direção normal à superfície (para superfícies fechadas, o sinal segue a orientação externa).
  • Q_{\rm enc} é a carga total contida dentro da superfície fechada escolhida.
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
    Essa lei diz que o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga dentro dela dividida por \varepsilon_0. Para distribuições com alta simetria (plano, cilindro, esfera) esta lei permite obter \mathbf{E} de forma simples.

Passo 4

Aplicação de Gauss ao caso de uma placa muito grande — hipótese de simetria:
  • Se a placa é muito grande, nas proximidades dela (isto é, em distâncias x muito menores que o raio do disco) o campo próximo ao centro é praticamente o mesmo que o de uma lâmina infinita com densidade superficial \sigma.
  • Por simetria, o campo deve ser perpendicular à placa e ter o mesmo módulo em todos os pontos a uma mesma distância para ambos os lados do plano. Então podemos assumir \mathbf{E} uniforme e normal ao plano nas proximidades.

Passo 5

Escolha da superfície de Gauss (o “pílula” ou cilíndro de Gauss) e cálculo:
  • Escolhe-se um cilindro com faces planas paralelas à placa (área de cada face A) e pequena altura cruzando a placa, de forma que a placa atravesse o cilindro no meio. A lateral do cilindro é paralela ao campo, então a contribuição de fluxo pela lateral é zero.
  • Fluxo total pelo cilindro: contribuem apenas as duas faces planas, cada uma com fluxo E A (valores do campo nas faces são iguais por simetria). Portanto o fluxo total é 2 E A.
  • Carga encerrada pelo cilindro: a placa tem carga superficial \sigma, então a carga dentro do cilindro é Q_{\rm enc}=\sigma A.
  • Aplicando Gauss:
2 E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}.
  • Simplificando A:
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

Passo 6

Interpretação do resultado obtido com Gauss:
  • A expressão \displaystyle E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} não contém a distância x. Isso mostra que, para uma lâmina idealmente infinita com carga superficial uniforme, o módulo do campo elétrico é constante e independe da distância ao plano (pelo menos enquanto estivermos na região onde a aproximação de plano infinito vale).
  • O campo aponta perpendicularmente para fora (ou para dentro) dependendo do sinal de \sigma.

Passo 7

Comentário sobre placas reais (disco muito grande, caso prático) — cálculo via superposição para o disco finito:
  • Para um disco de raio R com densidade \sigma, o campo no eixo a uma distância x do centro (do lado de uma face) é
E(x)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right).
Breve derivação da fórmula (esquemática):
  • Modela-se o disco como somatório de anéis concêntricos. Um anel de raio r e espessura dr tem carga dq=\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
  • O campo axial de um anel a distância x é proporcional a dq\cdot x/(x^2+r^2)^{3/2}.
  • Integrando r de 0 a R e fazendo as manipulações (substituição u=x^2+r^2), obtém-se a fórmula acima. (Os passos integrais podem ser seguidos se quiser, mas o resultado final é este.)
  • Agora, para um disco “muito grande” e pontos nas proximidades (ou seja, R\gg x ou tomando R\to\infty com x fixo), tem-se
\lim_{R\to\infty} E(x)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
o que confirma a previsão da lei de Gauss: nas proximidades da placa grande o campo é essencialmente constante.

Passo 8

Comparação com as alternativas e conclusão final do raciocínio (sem repetir a letra da alternativa nesta etapa):
  • O campo não decai como 1/x^2 (caso puntiforme) nem como 1/x (caso linear).
  • Não é zero nas proximidades da superfície carregada (a menos que seja o interior de um condutor, o que não foi especificado aqui).
  • Pelo cálculo e pela fórmula do disco, o campo próximo à placa grande é independente de x, isto é, constante.

Resposta

(d)

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