A expressão é o n mo termo a_{n} de uma seqüência \left\{a_{n}\right\}. Ache os quatro primeiros termos e \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} se existir.
(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{\sqrt{n}}{n+1}.
Pede-se os quatro primeiros termos a_1,a_2,a_3,a_4 e o limite \lim_{n\to\infty}a_n. Vamos usar substituição direta para os primeiros termos e análise de ordem de grandeza para o limite.

Passo 2

Para obter a_k substituímos n=k na fórmula:
a_1 = (-1)^{1+1}\frac{\sqrt{1}}{1+1} = 1\cdot\frac{1}{2} = \frac12,
a_2 = (-1)^{2+1}\frac{\sqrt{2}}{2+1} = -\frac{\sqrt{2}}{3},
a_3 = (-1)^{3+1}\frac{\sqrt{3}}{3+1} = \frac{\sqrt{3}}{4},
a_4 = (-1)^{4+1}\frac{\sqrt{4}}{4+1} = -\frac{2}{5}.

Passo 3

Para o limite, note que
|a_n| = \frac{\sqrt{n}}{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n}}\;\frac{n}{n+1}.
Como \frac{n}{n+1}\to1 e \frac{1}{\sqrt{n}}\to0, segue |a_n|\to0. Portanto, pelo teorema do confronto, a_n\to0.

Resposta

a_1 = \frac12
a_2 = -\frac{\sqrt{2}}{3}
a_3 = \frac{\sqrt{3}}{4}
a_4 = -\frac{2}{5}
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0

Exercícios relacionados