A expressão é o n mo termo a_{n} de uma seqüência \left\{a_{n}\right\}. Ache os quatro primeiros termos e \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} se existir.
(-1)^{n+1} \frac{3 n}{n^{2}+4 n+5}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \{a_n\} cujo termo geral é
a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{3n}{n^2 + 4n + 5}.
Precisamos encontrar os quatro primeiros termos a_1,a_2,a_3,a_4 e o limite \lim_{n\to\infty}a_n, se existir. Usaremos substituição direta para os primeiros termos e análise de limite para n\to\infty.

Passo 2

Para obter a_1,a_2,a_3,a_4, basta substituir n=1,2,3,4 em
a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{3n}{n^2+4n+5}.
Para n=1:
a_1 = (-1)^{2}\,\frac{3\cdot1}{1^2+4\cdot1+5} = 1\cdot\frac{3}{10} = \frac{3}{10}.
Para n=2:
a_2 = (-1)^{3}\,\frac{3\cdot2}{2^2+4\cdot2+5} = -1\cdot\frac{6}{17} = -\frac{6}{17}.
Para n=3:
a_3 = (-1)^{4}\,\frac{3\cdot3}{3^2+4\cdot3+5} = 1\cdot\frac{9}{26} = \frac{9}{26}.
Para n=4:
a_4 = (-1)^{5}\,\frac{3\cdot4}{4^2+4\cdot4+5} = -1\cdot\frac{12}{37} = -\frac{12}{37}.

Passo 3

Para o limite \lim_{n\to\infty}a_n, note que
\bigl|a_n\bigr| = \frac{3n}{n^2+4n+5} = \frac{3}{n}\,\frac{1}{1 + \tfrac{4}{n} + \tfrac{5}{n^2}} \longrightarrow 0 \quad\text{quando }n\to\infty.
Como (-1)^{n+1} é apenas um sinal alternante limitado a \pm1, o produto tende a 0. Portanto,
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

a_1 = \frac{3}{10}
a_2 = -\frac{6}{17}
a_3 = \frac{9}{26}
a_4 = -\frac{12}{37}
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0

Exercícios relacionados