A expressão é o n mo termo a_{n} de uma seqüência \left\{a_{n}\right\}. Ache os quatro primeiros termos e \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} se existir.
(-1)^{n+1} \frac{3 n}{n^{2}+4 n+5}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} cujo termo geral é
a_n = (-1)^{n+1}\frac{3n}{n^2+4n+5}.
Precisamos encontrar os quatro primeiros termos, isto é, a_1,a_2,a_3,a_4, e depois calcular \lim_{n\to\infty}a_n, se existir.

Passo 2

Para achar a_1,a_2,a_3,a_4 basta substituir n=1,2,3,4 na fórmula:
Para n=1:
a_1 = (-1)^{1+1}\frac{3\cdot1}{1^2+4\cdot1+5} = \frac{3}{10}.
Para n=2:
a_2 = (-1)^{2+1}\frac{3\cdot2}{2^2+4\cdot2+5} = -\frac{6}{17}.
Para n=3:
a_3 = (-1)^{3+1}\frac{3\cdot3}{3^2+4\cdot3+5} = \frac{9}{26}.
Para n=4:
a_4 = (-1)^{4+1}\frac{3\cdot4}{4^2+4\cdot4+5} = -\frac{12}{37}.

Passo 3

Para avaliar \lim_{n\to\infty}a_n, note que \bigl|(-1)^{n+1}\bigr|=1. Então basta analisar
\frac{3n}{n^2+4n+5}.
Dividindo numerador e denominador por n^2, temos
\frac{3n}{n^2+4n+5} = \frac{3/n}{1+4/n+5/n^2} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0.
Como o fator (-1)^{n+1} só altera o sinal e tem módulo 1, concluímos
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

a_1 = \frac{3}{10}
a_2 = -\frac{6}{17}
a_3 = \frac{9}{26}
a_4 = -\frac{12}{37}
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0

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