2- Qual a expressão para uma onda transversal trafegando no sentido negativo da direção x com amplitude 0,003 \mathrm{~m}, frequência 5 Hz , e velocidade 3000 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a expressão para uma onda transversal trafegando no sentido negativo da direção x com amplitude 0,003\\ \mathrm{m}, frequência 5\\ \mathrm{Hz} e velocidade 3000\\ \mathrm{m/s} ?”
Informações dadas:
  • amplitude: A = 0,003\\ \mathrm{m};
  • frequência: f = 5\\ \mathrm{Hz};
  • velocidade de propagação: v = 3000\\ \mathrm{m/s};
  • direção de propagação: sentido negativo de x (ou seja, a onda se desloca no sentido -x);
  • é uma onda transversal (deslocamento perpendicular à direção de propagação).
O que se pede:
  • escrever a expressão matemática y(x,t) que descreve a posição transversal da onda em função de x e t.

Passo 2

Vamos lembrar a forma padrão de uma onda harmônica progressiva. Uma forma geral para uma onda harmônica que se move ao longo do eixo x é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi)
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento), em metros;
  • k é o número de onda, em \mathrm{rad/m}, e está ligado ao comprimento de onda \lambda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda};
  • \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s}, e está ligada à frequência f por \omega=2\pi f;
  • \varphi é a fase inicial (constante);
  • o sinal entre kx e \omega t indica direção: para o sinal - (isto é, kx-\omega t) a onda se desloca no sentido positivo de x; para o sinal + (isto é, kx+\omega t) a onda se desloca no sentido negativo de x.
Vou explicar por que: uma forma compacta é escrever y(x,t)=A\sin(kx\mp\omega t). Se você fixa um ponto de fase constante kx-\omega t= constante, ao aumentar t você precisa aumentar x para manter a igualdade — isso corresponde a movimento no sentido positivo. Com kx+\omega t= constante, ao aumentar t você deve diminuir x — movimento no sentido negativo. Por isso, para o enunciado (sentido negativo) vamos usar o sinal + entre kx e \omega t.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega. A fórmula é
\omega = 2\pi f.
Substituindo f=5\\ \mathrm{Hz} obtemos
\omega = 2\pi\cdot 5 = 10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação curta: f conta ciclos por segundo; em radianos por segundo cada ciclo tem 2\pi rad, por isso \omega=2\pi f.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda usando a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
v = f\lambda.
Rearranjando, \lambda = \dfrac{v}{f}. Substituindo os valores dados:
\lambda = \dfrac{3000}{5} = 600\\ \mathrm{m}.
Interpretação: cada crista da onda está separada por 600\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o número de onda k. A relação é
k = \dfrac{2\pi}{\lambda}.
Usando \lambda=600\\ \mathrm{m} temos
k = \dfrac{2\pi}{600} = \dfrac{\pi}{300}\\ \mathrm{rad/m}.
Também é possível obter k por k=\dfrac{\omega}{v}; se calcularmos \dfrac{10\pi}{3000}=\dfrac{\pi}{300} chegamos ao mesmo resultado — bom sinal de consistência.

Passo 6

Escolher a forma final: como a onda trafega no sentido negativo de x, usamos o argumento kx+\omega t. Vamos tomar fase inicial \varphi=0 (enunciado não fornece outra). Montando a expressão com os valores numéricos:
y(x,t)=A\sin\!\left(kx+\omega t\right).
Substituindo A=0,003, k=\dfrac{\pi}{300} e \omega=10\pi obtemos
y(x,t)=0,003\sin\!\left(\dfrac{\pi}{300}x+10\pi t\right).
Verificação rápida da velocidade: v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{10\pi}{\pi/300}=10\pi\cdot\dfrac{300}{\pi}=3000, consistente com o enunciado.

Passo 7

Observações finais e pequenas variações que podem aparecer na prova:
  • A mesma onda poderia ser escrita com cosseno se a fase fosse deslocada: por exemplo y(x,t)=0,003\cos\!\left(\dfrac{\pi}{300}x+10\pi t-\dfrac{\pi}{2}\right) é equivalente.
  • Se a questão pedisse sentido positivo de x trocaríamos o sinal para - dentro do argumento: \sin(\dfrac{\pi}{300}x-10\pi t).
  • Sempre confirme a unidade da amplitude (metros) e que \omega está em \mathrm{rad/s} e k em \mathrm{rad/m}.

Resposta

y(x,t)=0,003\sin\!\left(\dfrac{\pi}{300}x+10\pi t\right)

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