(09) No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, um elétron no estado fundamental gira em torno de um próton a uma distância de 5,29 \times 10^{-11} \mathrm{~m}. Em um referencial no qual o elétron se encontra em repouso, o próton gira em torno do elétron a uma distância de 5,29 \times 10^{-11} \mathrm{~m} com a mesma velocidade angular que o elétron no referencial em que o próton se encontra em repouso. (a) Qual o valor do campo magnético na posição do elétron devido ao movimento do próton? (b) Determine a diferença de energia entre as duas orientações possíveis do momento magnético intrínseco do elétron, paralelo ou antiparalelo ao campo magnético devido ao movimento aparente do próton. Esta diferença de energia é conhecida como desdobramento fino.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) O valor do campo magnético na posição do elétron devido ao movimento aparente do próton, sabendo que a distância entre eles é \displaystyle r=5,29\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}.
(b) A diferença de energia entre as duas orientações possíveis do momento magnético intrínseco do elétron (paralelo e antiparalelo ao campo calculado no item (a)), ou seja, o desdobramento fino devido a esse campo.
Informações fornecidas e que usaremos: \displaystyle r=5,29\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}. Vamos usar constantes físicas padrão (carga do elétron/próton, massa do elétron, constante de Planck reduzida, permeabilidade do vácuo, etc.) durante a resolução.

Passo 2

Primeiro precisamos da velocidade angular \displaystyle \omega do movimento circular (no modelo de Bohr, o elétron descreve uma órbita circular de raio \displaystyle r). No modelo de Bohr o momento angular é quantizado:
m_e v r = \hbar,
onde \displaystyle m_e é a massa do elétron, \displaystyle v sua velocidade e \displaystyle \hbar a constante de Planck reduzida. Dessa relação isolamos \displaystyle v:
v = \frac{\hbar}{m_e r}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \displaystyle \hbar: constante de Planck reduzida ( \displaystyle \hbar\approx 1,054571817\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}),
  • \displaystyle m_e: massa do elétron ( \displaystyle m_e\approx 9,10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}),
  • \displaystyle r: raio da órbita ( \displaystyle 5,29\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}).

Passo 3

Calculamos numericame nte \displaystyle v. Substituindo os valores:
v=\frac{\hbar}{m_e r} =\frac{1,054571817\times 10^{-34}}{(9,10938356\times 10^{-31})(5,29\times 10^{-11})}.
Vamos fazer a conta em etapas. O denominador vale
(9,10938356\times 10^{-31})(5,29\times 10^{-11})=9,10938356\times 5,29\times 10^{-42}\approx 48,18\times 10^{-42}=4,818\times 10^{-41}.
Portanto
v\approx\frac{1,054571817\times 10^{-34}}{4,818\times 10^{-41}}\approx 2,19\times 10^{6}\\ \mathrm{m\!/\!s}.
(Esse valor é o conhecido \displaystyle v\approx \alpha c, ordem de 2,19\times 10^{6}\\ \mathrm{m\!/\!s}.)

Passo 4

A partir de \displaystyle v obtemos a velocidade angular \displaystyle \omega pela relação
\omega=\frac{v}{r}.
Substituindo os valores numéricos:
\omega\approx\frac{2,19\times 10^{6}}{5,29\times 10^{-11}}\approx 4,14\times 10^{16}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

No referencial em que o elétron está em repouso, o próton descreve uma órbita circular de mesma frequência angular \displaystyle \omega e raio \displaystyle r. Um carga elétrica q em movimento circular é equivalente a uma corrente elétrica dada por
I=\frac{q}{T}=\frac{q\,\omega}{2\pi},
onde \displaystyle T é o período e \displaystyle \omega=2\pi/T. Aqui usamos \displaystyle q=e, a carga do próton ( \displaystyle e\approx 1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}).

Passo 6

O campo magnético no centro de um laço circular de raio \displaystyle r percorrido por uma corrente \displaystyle I é (fórmula do magnetismo clássico, resultado do Biot–Savart):
B=\frac{\mu_0 I}{2r},
onde \displaystyle \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \displaystyle \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{N\!/\!A^2}). Substituindo \displaystyle I=\dfrac{e\omega}{2\pi} obtemos
B=\frac{\mu_0}{2r}\cdot\frac{e\omega}{2\pi}=\frac{\mu_0 e \omega}{4\pi r}.
Note que \displaystyle \frac{\mu_0}{4\pi}=10^{-7} (em unidades SI), então a expressão simplifica para
B=10^{-7}\,\frac{e\,\omega}{r}.

Passo 7

Agora substituímos numericamente \displaystyle e, \displaystyle \omega e \displaystyle r:
B=10^{-7}\,\frac{(1,602176634\times 10^{-19})(4,14\times 10^{16})}{5,29\times 10^{-11}}.
Calculando o numerador:
(1,602176634\times 10^{-19})(4,14\times 10^{16})\approx 6,635\times 10^{-3}.
Dividindo por r:
\frac{6,635\times 10^{-3}}{5,29\times 10^{-11}}\approx 1,254\times 10^{8}.
Multiplicando por 10^{-7}:
B\approx 12,54\\ \mathrm{T}.
Arredondando de forma conveniente, B\approx 12,5\\ \mathrm{T}. (Esse valor é razoável no modelo de Bohr e indica um campo magnético forte no local do elétron devido ao próton em movimento.)

Passo 8

Agora o desdobramento fino: a energia de uma distribuição magnética com momento magnético \displaystyle \boldsymbol{\mu} em um campo magnético \displaystyle \mathbf{B} é
E=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}.
Para o elétron de spin, o momento magnético intrínseco é dado por
\boldsymbol{\mu}_s=-g\,\mu_B\frac{\mathbf{S}}{\hbar},
onde:
  • \displaystyle g é o fator giromagnético do elétron (experimentalmente \displaystyle g\approx 2{,}0023),
  • \displaystyle \mu_B é o magneton de Bohr, definido por \displaystyle \mu_B=\dfrac{e\hbar}{2m_e},
  • \displaystyle \mathbf{S} é o operador de spin do elétron. Para estados de spin { m_s=\pm\frac{1}{2}} a projeção S_z=m_s\hbar=\pm\frac{\hbar}{2}.
Assim a componente de momento magnético ao longo do campo (supondo campo na direção z) é
\mu_{s,z}=-g\,\mu_B\frac{m_s\hbar}{\hbar}=-g\,\mu_B m_s.
Para m_s=+\tfrac{1}{2} e m_s=-\tfrac{1}{2} os valores de energia são
E_{m_s}=-\mu_{s,z}B = -(-g\mu_B m_s)B = g\mu_B m_s B.
Portanto as duas energias são E_{+1/2}=+\dfrac{g}{2}\mu_B B e E_{-1/2}=-\dfrac{g}{2}\mu_B B. A diferença entre elas é
\Delta E = E_{+1/2}-E_{-1/2}=g\,\mu_B B.

Passo 9

Calculamos numericamente \displaystyle \Delta E. Primeiro o magneton de Bohr:
\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e} =\frac{(1,602176634\times 10^{-19})(1,054571817\times 10^{-34})}{2(9,10938356\times 10^{-31})} \approx 9,274010078\times 10^{-24}\\ \mathrm{J\!/\!T}.
Usando \displaystyle g\approx 2{,}0023 e B\approx 12,54\\ \mathrm{T},
\Delta E = g\,\mu_B B \approx (2{,}0023)(9,274010078\times 10^{-24})(12,54)\\ \mathrm{J}.
Calculando:
\Delta E \approx 2,328\times 10^{-22}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para elétron-volts ( 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}):
\Delta E \approx \frac{2,328\times 10^{-22}}{1,602176634\times 10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 1,45\times 10^{-3}\\ \mathrm{eV}.

Resposta

(a) B\approx 12,5\\ \mathrm{T}
(b) \Delta E\approx 2,33\times 10^{-22}\\ \mathrm{J}=1,45\times 10^{-3}\\ \mathrm{eV}

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