(09) No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, um elétron no estado fundamental gira em torno de um próton a uma distância de
. Em um referencial no qual o elétron se encontra em repouso, o próton gira em torno do elétron a uma distância de
com a mesma velocidade angular que o elétron no referencial em que o próton se encontra em repouso. (a) Qual o valor do campo magnético na posição do elétron devido ao movimento do próton? (b) Determine a diferença de energia entre as duas orientações possíveis do momento magnético intrínseco do elétron, paralelo ou antiparalelo ao campo magnético devido ao movimento aparente do próton. Esta diferença de energia é conhecida como desdobramento fino.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) O valor do campo magnético na posição do elétron devido ao movimento aparente do próton, sabendo que a distância entre eles é
.
(b) A diferença de energia entre as duas orientações possíveis do momento magnético intrínseco do elétron (paralelo e antiparalelo ao campo calculado no item (a)), ou seja, o desdobramento fino devido a esse campo.
Informações fornecidas e que usaremos:
. Vamos usar constantes físicas padrão (carga do elétron/próton, massa do elétron, constante de Planck reduzida, permeabilidade do vácuo, etc.) durante a resolução.
Passo 2
Primeiro precisamos da velocidade angular
do movimento circular (no modelo de Bohr, o elétron descreve uma órbita circular de raio
). No modelo de Bohr o momento angular é quantizado:
onde
é a massa do elétron,
sua velocidade e
a constante de Planck reduzida. Dessa relação isolamos
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: constante de Planck reduzida ( ), -
: massa do elétron ( ), -
: raio da órbita ( ).
Passo 3
Calculamos numericame nte
. Substituindo os valores:
Vamos fazer a conta em etapas. O denominador vale
Portanto
(Esse valor é o conhecido
, ordem de
.)
Passo 4
A partir de
obtemos a velocidade angular
pela relação
Substituindo os valores numéricos:
Passo 5
No referencial em que o elétron está em repouso, o próton descreve uma órbita circular de mesma frequência angular
e raio
. Um carga elétrica
em movimento circular é equivalente a uma corrente elétrica dada por
onde
é o período e
. Aqui usamos
, a carga do próton (
).
Passo 6
O campo magnético no centro de um laço circular de raio
percorrido por uma corrente
é (fórmula do magnetismo clássico, resultado do Biot–Savart):
onde
é a permeabilidade do vácuo (
). Substituindo
obtemos
Note que
(em unidades SI), então a expressão simplifica para
Passo 7
Agora substituímos numericamente
,
e
:
Calculando o numerador:
Dividindo por
:
Multiplicando por
:
Arredondando de forma conveniente,
. (Esse valor é razoável no modelo de Bohr e indica um campo magnético forte no local do elétron devido ao próton em movimento.)
Passo 8
Agora o desdobramento fino: a energia de uma distribuição magnética com momento magnético
em um campo magnético
é
Para o elétron de spin, o momento magnético intrínseco é dado por
onde:
-
é o fator giromagnético do elétron (experimentalmente ), -
é o magneton de Bohr, definido por , -
é o operador de spin do elétron. Para estados de spin { } a projeção .
Assim a componente de momento magnético ao longo do campo (supondo campo na direção
) é
Para
e
os valores de energia são
Portanto as duas energias são
e
. A diferença entre elas é
Passo 9
Calculamos numericamente
. Primeiro o magneton de Bohr:
Usando
e
,
Calculando:
Convertendo para elétron-volts (
):
Resposta
(a)
(b)