1- A expressão de uma onda transversal em um fio é dada por: y=0,3 \operatorname{sen}[\pi(5,0 x-50 t)]
a) Encontre a amplitude, o comprimento de onda, o número de onda, a frequência, o período e a velocidade da onda.
b) Calcule a velocidade transversal máxima de qualquer partícula no fio.
a) A=0,3 \mathrm{~cm} ; \lambda=4 \mathrm{~cm} ; v=25 \mathrm{~Hz} ; v=100 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}
b) 15 \pi \mathrm{~cm} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá a oscilação transversal do fio por
y=0,3\operatorname{sen}\big[\pi(5{,}0\,x-50\,t)\big].
Informações relevantes que temos (exatas, do enunciado):
\text{amplitude numérica: }0{,}3,é
\text{expressão do argumento da seno: }\pi(5{,}0\,x-50\,t).ã
Não foi explicado explicitamente a unidade de x, mas como a amplitude está em centímetros (ver resposta esperada com unidades em \text{cm}), vamos assumir que x está em \text{cm} e t em \text{s}. A partir daí vamos extrair os parâmetros da onda.

Passo 2

Lembrete didático: a forma padrão de uma onda harmônica que se propaga é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde:
  • A é a amplitude (maior deslocamento em módulo que uma partícula atinge);
  • k é o número de onda (em \text{rad}/\text{unidade de comprimento}), relacionado ao comprimento de onda \lambda por \lambda=\dfrac{2\pi}{k};
  • \omega é a frequência angular (em \text{rad}/\text{s}), relacionada à frequência f por f=\dfrac{\omega}{2\pi};
  • o período é T=\dfrac{1}{f};
  • a velocidade de propagação (velocidade de fase) da onda é v=\dfrac{\omega}{k}=f\lambda.
Vou usar essas fórmulas e explicar cada passo da extração dos parâmetros.

Passo 3

Identificação direta da amplitude: comparando com a forma padrão,
A=0{,}3.
Como já assumimos unidades coerentes (amplitude dada em centímetros), escrevemos
A=0{,}3\\ \text{cm}.

Passo 4

Extração de k e \omega a partir do argumento da seno. Desenvolvendo o argumento:
\pi(5{,}0\,x-50\,t)= (5{,}0\pi)\,x - (50\pi)\,t.
Comparando com kx-\omega t obtemos
k=5{,}0\pi
e
\omega=50\pi.
As unidades serão \text{rad}/\text{cm} para k (já que assumimos x em \text{cm}) e \text{rad}/\text{s} para \omega.

Passo 5

Cálculo do comprimento de onda \lambda usando \lambda=\dfrac{2\pi}{k}:
\lambda=\dfrac{2\pi}{5{,}0\pi}=\dfrac{2}{5}=0{,}4.
Com nossas unidades:
\lambda=0{,}4\\ \text{cm}.
(Explicação: como k tem \pi em ambos numerador e denominador, ele se cancela rapidamente.)

Passo 6

Cálculo da frequência f e do período T. Usando f=\dfrac{\omega}{2\pi}:
f=\dfrac{50\pi}{2\pi}=25.
Logo
f=25\\ \text{Hz}.
O período é T=\dfrac{1}{f}:
T=\dfrac{1}{25}=0{,}04\\ \text{s}.

Passo 7

Cálculo da velocidade de propagação v. Podemos usar v=\dfrac{\omega}{k} ou v=f\lambda. Usando \dfrac{\omega}{k}:
v=\dfrac{50\pi}{5{,}0\pi}=10.
Com unidades (distância por tempo, aqui \text{cm}/\text{s}):
v=10\\ \text{cm}/\text{s}.
(Verificação com v=f\lambda: v=25\times0{,}4=10\\ \text{cm}/\text{s}.)

Passo 8

Agora a pergunta (b): velocidade transversal máxima de qualquer partícula do fio.
Primeiro, a velocidade transversal instantânea de uma partícula fixa em x é a derivada temporal de y:
v_y(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}=\dfrac{\partial}{\partial t}\Big[ A\sin(kx-\omega t)\Big]=-A\omega\cos(kx-\omega t).
A velocidade transversal máxima em módulo (quando |\cos| atinge 1) é
v_{y,\max}=A\omega.
Substituindo A=0{,}3 e \omega=50\pi:
v_{y,\max}=0{,}3\times50\pi=15\pi.
Com unidades (cm/s):
v_{y,\max}=15\pi\\ \text{cm}/\text{s}.

Passo 9

Resumo dos resultados (já calculados passo a passo): amplitude, comprimento de onda, número de onda, frequência, período, velocidade de propagação e velocidade transversal máxima. Força aí — você já domina o raciocínio: pego k e \omega do argumento, uso 2\pi/k para \lambda, \omega/(2\pi) para f, etc.

Resposta

A=0{,}3\\ \text{cm}
\lambda=0{,}4\\ \text{cm}
k=5{,}0\pi\\ \text{rad}/\text{cm}
f=25\\ \text{Hz}
T=0{,}04\\ \text{s}
v=10\\ \text{cm}/\text{s}
v_{y,\max}=15\pi\\ \text{cm}/\text{s}

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