A expressão para a posição, em função do tempo, para uma partícula em movimento é
s(t)=e^sin (5 t) m
Determine a velocidade e a aceleração iniciais desta partícula.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição de uma partícula é
s(t)=e^sin(5t) m
e pede para encontrar a velocidade inicial e a aceleração inicial .
Conteúdo envolvido: derivadas (velocidade é a derivada de posição, aceleração é a derivada da velocidade) e regras de derivação (cadeia e produto). Vamos precisar entender como derivar uma exponencial composta e depois aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, definimos a velocidade como
v(t)=dsdt,
Para derivar dsdt=e^u(t)cdot u'(t) usamos a regra da cadeia: se u'(t)=ddt[sin(5t)]=cos(5t)cdot 5 =5cos(5t) , então
v(t)=e^sin(5t)cdot 5cos(5t) =5e^sin(5t)cos(5t)
Aqui v(0)=5e^sin(0)cos(0) =5cdot e^0cdot 1 =5 m/s , e

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Agora o valor inicial é :

Passo 3

Agora vamos à aceleração, que é a derivada de a(t)=dvdt :
v(t)=5e^sin(5t)cos(5t),
Como
ddt[Acdot B]=A',B + A,B'
temos um produto de duas funções: A(t)=5e^sin(5t)Longrightarrow A'(t)=5cdot e^sin(5t)cdot(sin(5t))' =5e^sin(5t)cdot[5cos(5t)] =25e^sin(5t)cos(5t) e B(t)=cos(5t)Longrightarrow B'(t)=-sin(5t)cdot 5=-5sin(5t) . A regra do produto diz
a(t)=A',B + A,B' =25e^sin(5t)cos(5t)cdotcos(5t) +5e^sin(5t)cdot(-5sin(5t))
  1. Calcular a(t)=25e^sin(5t)cos^2(5t) -25e^sin(5t)sin(5t) :
a(0)=25e^sin(0)l[cos^2(0)-sin(0)r] =25cdot e^0,(1-0) =25 m/s^2
  1. Calcular :
Agora juntamos:
Simplificando:
Para :

Resposta

Velocidade inicial:
Aceleração inicial:

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