A expressão para a posição de uma partícula, em função do tempo, é
s(t)=ka-b(e^-b t-e^-a t) m
Em que instante de tempo a velocidade desta partícula será nula?

Passo 1

Beleza, a questão diz que a posição de uma partícula varia com o tempo segundo
s(t)=ka-bl(e^-b t-e^-a tr),m
Pergunta: em que instante a velocidade é zero?
Conteúdo: Cinemática básica e derivada de funções exponenciais (regra da cadeia). Vamos precisar derivar pra achar e depois resolver .

Passo 2

Primeiro, lembra que velocidade é a derivada da posição:
v(t)=ddts(t)
Como tem fator multiplicando duas exponenciais, a gente usa a regra da constante e a regra da cadeia.
- Derivada de é .
- Derivada de é vezes derivada de , ou seja .

Passo 3

Aplicando isso:
v(t)=ka-bl(-b,e^-b t+a,e^-a tr)

Passo 4

Agora, pra achar quando -b,e^-b t+a,e^-a t=0 Longrightarrow a,e^-a t=b,e^-b t , basta zerar o parênteses (supondo e^-a t / e^-b t = ba Longrightarrow e^-(a t - b t) = ba Longrightarrow e^-(a-b),t = ba e ):
Aí dividimos ambos os lados por (sempre positivo) e por :

Passo 5

Pra desfazer o exponencial, usamos log natural:
-(a-b),t = ln!l(tfracbar) Longrightarrow t = -1a-b,ln!l(tfracbar)
Como , a gente pode fingir que fica mais bonitinho assim:

Resposta

t = 1a-b,ln!l(abr)

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