A expressão para a posição de uma partícula é
s(t)=1alpha^2-(talpha+1alpha^2) e^-alpha t m
Obtenha uma expressão para a sua velocidade e uma para a sua aceleração.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição de uma partícula é
s(t)=1alpha^2 ;-;l(talpha+1alpha^2r),e^-alpha t
e a gente precisa achar a velocidade e a aceleração .
Conteúdo que vamos usar: derivada de soma e constante, regra do produto e derivada de (chain rule).

Passo 2

Vamos começar calculando a velocidade ddt[u,w] =u',w + u,w' .
  1. A derivada de ddtl[l(u,wr)r] =1alpha,e^-alpha t + l(tfractalpha+tfrac1alpha^2r)!l(-alpha e^-alpha tr) é zero (constante).
  2. Para v(t)=-l[1alpha e^-alpha t - alphal(tfractalpha+tfrac1alpha^2r)e^-alpha tr] usamos a regra do produto:
    se v(t) =-e^-alpha tl(1alpha - alphacdottalpha - alphacdot1alpha^2r) =-e^-alpha tl(1alpha - t - 1alphar) =t,e^-alpha t e ,
    então
    • .
    • (chain rule).
  3. Logo, Não esquece do sinal “–” lá fora de tudo, então:
  4. Fatorando :

Passo 3

Agora a aceleração é a(t) =p'(t),q(t) + p(t),q'(t) =1cdot e^-alpha t + tcdot(-alpha e^-alpha t) =l(1-alpha tr)e^-alpha t , com . De novo, regra do produto:
  • Seja e .
  • .
  • .
    Então

Resposta

Velocidade:
v(t)=t,e^-alpha t (m/s)
Aceleração:
a(t)=l(1-alpha tr)e^-alpha t (m/s^2)

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