(a) a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de l, de modo que o produto do volume da pirâmide pela sua altura seja máximo.
(b) a expressão desse produto máximo, em função de l e n.

Passo 1

Resumindo, temos uma pirâmide reta de base poligonal regular com n lados e arestas laterais de comprimento l. O que queremos é achar o raio R do círculo circunscrito à base em função de l, de modo que o produto Vcdot h seja máximo. Vamos usar geometria de polígono regular e otimização.

Passo 2

Primeiro, a área da base de um polígono regular de n lados inscrito em um círculo de raio R é dada por
Abase = n2 R^2 sinl(tfrac2pinr)
Assim, o volume da pirâmide é
V = 13 Abase ; h = n6 R^2 sinl(tfrac2pinr) ; h,
e portanto o produto é
Vcdot h = n6 R^2 sinl(tfrac2pinr) ; h^2

Passo 3

Como a pirâmide é reta com arestas laterais todas iguais a l, temos do triângulo retângulo formado pelo vértice, centro da base e um vértice da base a relação
R^2 + h^2 = l^2
Substituindo h^2 = l^2 - R^2 em Vcdot h, definimos a função
f(R) = R^2 (l^2 - R^2)
em que Vcdot h = tfracn6sin(tfrac2pin) ; f(R)

Passo 4

Para maximizar f(R), derivamos e igualamos a zero:
f'(R) = 2R l^2 - 4R^3 = 2R(l^2 - 2R^2) = 0
Daí vem l^2 - 2R^2 = 0, isto é, R^2 = tfracl^22, logo
R = lraiz2,
e então
h = raizl^2 - R^2 = lraiz2

Passo 5

Finalmente, substituindo esses valores em Vcdot h ou em f(R), temos
fmax = R^2 h^2 = l(lraiz2r)^4 = l^44
Portanto
(Vcdot h)max = n6sinl(tfrac2pinr) ; l^44 = n,l^4,sinl(tfrac2pinr)24

Resposta

a) R = lraiz2
b) (Vcdot h)max = n,l^4,sinl(tfrac2pinr)24

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