(a) a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de
, de modo que o produto do volume da pirâmide pela sua altura seja máximo.
(b) a expressão desse produto máximo, em função de
e
.
(b) a expressão desse produto máximo, em função de
Passo 1
Resumindo, temos uma pirâmide reta de base poligonal regular com
lados e arestas laterais de comprimento
. O que queremos é achar o raio
do círculo circunscrito à base em função de
, de modo que o produto
seja máximo. Vamos usar geometria de polígono regular e otimização.
Passo 2
Primeiro, a área da base de um polígono regular de
lados inscrito em um círculo de raio
é dada por
Assim, o volume da pirâmide é
e portanto o produto é
Passo 3
Como a pirâmide é reta com arestas laterais todas iguais a
, temos do triângulo retângulo formado pelo vértice, centro da base e um vértice da base a relação
Substituindo
em
, definimos a função
em que
Passo 4
Para maximizar
, derivamos e igualamos a zero:
Daí vem
, isto é,
, logo
e então
Passo 5
Finalmente, substituindo esses valores em
ou em
, temos
Portanto
Resposta
a)
b)
b)