Determine se a seqüência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
\left\{\frac{4 n^{3}+5 n+1}{2 n^{3}-n^{2}+5}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = \frac{4 n^{3} + 5 n + 1}{2 n^{3} - n^{2} + 5}
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o limite. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência racional quando n \to \infty, usando a comparação dos graus de polinômios.

Passo 2

Para estudar o comportamento quando n\to\infty, dividimos numerador e denominador por n^{3}, que é o maior grau presente. Assim,
a_n = \frac{4 n^{3} + 5 n + 1}{2 n^{3} - n^{2} + 5} = \frac{n^{3}\bigl(4 + \tfrac{5}{n^{2}} + \tfrac{1}{n^{3}}\bigr)}{n^{3}\bigl(2 - \tfrac{1}{n} + \tfrac{5}{n^{3}}\bigr)} = \frac{4 + \tfrac{5}{n^{2}} + \tfrac{1}{n^{3}}}{2 - \tfrac{1}{n} + \tfrac{5}{n^{3}}}.

Passo 3

Agora observamos o limite de cada termo à medida que n\to\infty:
\frac{5}{n^{2}}\to 0, \quad \frac{1}{n^{3}}\to 0, \quad \frac{1}{n}\to 0, \quad \frac{5}{n^{3}}\to 0.
Logo o numerador tende a 4+0+0=4 e o denominador tende a 2-0+0=2.

Passo 4

Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{4}{2} = 2.
Isso mostra que a sequência converge e que seu limite é 2.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} \frac{4 n^{3} + 5 n + 1}{2 n^{3} - n^{2} + 5} = 2.

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