A expressão do torque
T_{\mathrm{em}}=\frac{3 R_{\mathrm{r}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{ra}}^{\prime}\right)^{2}}{\omega_{\mathrm{esc}}}
é válida na presença da indutância de dispersão do rotor e impedância de dispersão do estator? Explique brevemente.

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
T_{\mathrm{em}}=\frac{3 R_{\mathrm{r}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{ra}}^{\prime}\right)^{2}}{\omega_{\mathrm{esc}}}
e pergunta se ela é válida quando existe indutância de dispersão do rotor e impedância de dispersão do estator.
Informações/restrições claras do enunciado:
  • A expressão do torque está escrita em função de R_{\mathrm{r}}^{\prime}, I_{\mathrm{ra}}^{\prime} e \omega_{\mathrm{esc}}.
  • Há presença de indutância de dispersão do rotor e de impedância de dispersão do estator (ou seja, o circuito equivalente tem reatâncias além das resistências).
  • Não foi dada definição explícita de I_{\mathrm{ra}}^{\prime} nem do que \omega_{\mathrm{esc}} representa, então usarei as notações comuns: \omega_{\mathrm{esc}} = velocidade angular síncrona elétrica (rad/s) e I_{\mathrm{r}}' = corrente do rotor referida ao estator. A partir disso vou mostrar a relação correta e comentar quando a fórmula do enunciado é (ou não) válida.

Passo 2

Conceito-chave: relação torque ↔ potência no entreferro.
Explicação didática:
  • O torque eletromagnético \,T_{\mathrm{em}}\, é a razão entre a potência convertida no entreferro (potência de ar) e uma velocidade angular adequada. A potência que atravessa o entreferro (potência aérea ou potência convertida na máquina antes das perdas do rotor) é tradicionalmente escrita como P_{\mathrm{ag}}.
  • A identidade usada em máquinas de indução é
T_{\mathrm{em}}=\frac{P_{\mathrm{ag}}}{\omega_{\mathrm{esc}}},
onde \omega_{\mathrm{esc}} é a velocidade angular síncrona elétrica (essa escolha aparece nas fórmulas padrão; é a convenção usada quando se trabalha com quantidades “por fase” e com referências elétricas).
  • Portanto, para obter T_{\mathrm{em}} precisamos escrever P_{\mathrm{ag}} em termos das correntes e resistências do circuito equivalente.

Passo 3

Expressão da potência no entreferro a partir do circuito do rotor referido.
Passo a passo:
  • No circuito equivalente referido do rotor, a resistência efetiva que corresponde à potência convertida é R_{\mathrm{r}}^{\prime}/s (onde s é o escorregamento). Essa é a famosa resistência “a vista” que separa a parte que gera potência mecânica da parte que se perde no cobre do rotor.
  • A potência no entreferro (potência convertida) por fase é a potência dissipada nessa resistência R_{\mathrm{r}}^{\prime}/s quando a corrente do rotor referida ao estator é I_{\mathrm{r}}'. Assim, a potência total (três fases) é
P_{\mathrm{ag}}=3\left(I_{\mathrm{r}}'\right)^{2}\frac{R_{\mathrm{r}}^{\prime}}{s}.
  • Substituindo em T_{\mathrm{em}}=P_{\mathrm{ag}}/\omega_{\mathrm{esc}} obtemos a forma padrão:
T_{\mathrm{em}}=\frac{3}{\omega_{\mathrm{esc}}}\,\frac{R_{\mathrm{r}}^{\prime}}{s}\left(I_{\mathrm{r}}'\right)^{2}.
Observação didática: cada termo aqui significa
  • \,I_{\mathrm{r}}'\,: corrente do rotor referida ao estator (módulo eficaz);
  • \,R_{\mathrm{r}}'\,/s\,: resistência efetiva que transforma potência elétrica em potência mecânica (contendo o fator 1/s típico do rotor em regime assíncrono);
  • divisão por \omega_{\mathrm{esc}} converte potência (watts) em torque (N·m).

Passo 4

Efeito das reatâncias (indutância de dispersão do rotor e impedância de dispersão do estator) e interpretação da fórmula do enunciado.
Explicação didática e intuitiva:
  • As reatâncias (dispensação do rotor e do estator) não anulam a relação energética fundamental P_{\mathrm{ag}}=3 I_{\mathrm{r}}'^{2} (R_{\mathrm{r}}'/s). O que as reatâncias fazem é alterar o valor da corrente \,I_{\mathrm{r}}'\, (pela divisão de tensão no circuito equivalente), mas não mudam a forma dessa expressão de potência/torque.
  • Assim, a forma correta e geral do torque é a que apareceu no passo anterior, com o fator 1/s.
  • A expressão do enunciado
T_{\mathrm{em}}=\frac{3 R_{\mathrm{r}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{ra}}^{\prime}\right)^{2}}{\omega_{\mathrm{esc}}}
deixa de fora o 1/s. Ela só será correta em casos especiais:
  1. se \,s=1 (motor em bloqueio, partida em rotor parado), porque então \,R_{\mathrm{r}}'/s = R_{\mathrm{r}}'; ou
  2. se o símbolo \,I_{\mathrm{ra}}'\, estiver definido não como a corrente rotor referida usual \,I_{\mathrm{r}}'\,, mas sim como uma corrente “escalonada” tal que \left(I_{\mathrm{ra}}'\right)^{2}=\dfrac{\left(I_{\mathrm{r}}'\right)^{2}}{s}. Em outras palavras, se o autor já incluiu o fator 1/s dentro da definição de I_{\mathrm{ra}}', a forma apresentada vira compatível com a expressão geral.
  • Em operação normal (escorregamento s diferente de 1) e usando a definição padrão I_{\mathrm{ra}}'=I_{\mathrm{r}}' (corrente do rotor referida ao estator), a omissão do 1/s torna a fórmula incorreta.

Passo 5

Resumo intuitivo e encorajamento.
  • Energia e potências mandam: a potência que gera torque é sempre a potência atravessando a resistência R_{\mathrm{r}}'/s. Reatâncias só mudam a corrente, não a lei energética.
  • Conclusão prática: sempre verifique a definição de I_{\mathrm{ra}}'. Se for a corrente rotor referida padrão, a forma correta é com 1/s. Se estiver trabalhando em s=1 (parado) ou a corrente já incorpora o 1/s, aí a fórmula do enunciado coincide com a correta. Vai dar certo na prova se você lembrar: “sempre cheque o slip”.

Resposta

Não, não é válida em geral. A forma correta (com a definição usual de corrente do rotor referida) é
T_{\mathrm{em}}=\frac{3}{\omega_{\mathrm{esc}}}\,\frac{R_{\mathrm{r}}^{\prime}}{s}\left(I_{\mathrm{r}}'\right)^{2},
sendo que a fórmula do enunciado só vale se s=1 ou se \left(I_{\mathrm{ra}}'\right)^{2}=\left(I_{\mathrm{r}}'\right)^{2}/s (i.e., a definição de I_{\mathrm{ra}}' já incorpora o fator 1/s).

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