A expressão:
estabelece uma relação entre
e
. Essa relação descreve uma função,
, na vizinhança de
. Assinale a expressão da reta tangente ao gráfico da função
nesse ponto.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício que envolve cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas implícitas. O enunciado nos dá uma relação complicada entre $ x $ e $ y $ e pede para encontrarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função $ y(x) $ no ponto
. Para isso, vamos precisar usar a derivada implícita para achar $ \frac{dy}{dx} $ nesse ponto e, depois, usar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a equação que relaciona $ x $ e $ y $:
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dy}{dx} $ quando $ x = 1 $ e $ y = 7 $.
Passo 3
Para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, vamos usar a derivada implícita. Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Podemos multiplicar ambos os lados por $ x y - \sqrt{x} $ para eliminar o denominador:
Passo 4
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Simplificando:
Passo 5
Queremos trazer todos os termos para um lado da equação para facilitar a diferenciação:
Fatorando $ y $ no lado esquerdo:
Passo 6
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembrando que $ y $ é uma função de $ x $, vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:
Passo 7
Igualando as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar $ y’ $, portanto vamos resolver essa equação para $ y’ $.
Passo 8
Isolando $ y’ $:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos substituir $ x = 1 $ e $ y = 7 $ na expressão acima para encontrar $ y’ $ no ponto
:
Calculando cada parte:
-
$ - y \left( -3x^{2} - \frac{1}{6} \right ) = -7 \left( -3(1)^{2} - \frac{1}{6} \right ) = -7 \left( -3 - \frac{1}{6} \right ) = -7 \left( -\frac{19}{6} \right ) = \frac{133}{6} $
-
$ - \frac{1}{2} x^{-1/2} \left( x^{2} + \frac{1}{6} \right ) = - \frac{1}{2} (1)^{-1/2} \left(1^{2} + \frac{1}{6} \right ) = - \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{6} \right ) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{6} = - \frac{7}{12} $
-
$ -2x^{3/2} = -2(1)^{3/2} = -2 $
Denominador:
Passo 10
Substituindo todos os valores:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 11
Agora que temos $ y’ = -\frac{235}{2} $, que é a inclinação da reta tangente no ponto
, podemos usar a equação da reta tangente:
Onde $ m = -\frac{235}{2} $, $ x_0 = 1 $ e $ y_0 = 7 $.
Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ y(x) $ no ponto
é: