A expressão: yx y-raizx=x^2+16, raizx neq x y estabelece uma relação entre x e y. Essa relação descreve uma função, y(x), na vizinhança de (x, y)=(1,7). Assinale a expressão da reta tangente ao gráfico da função y(x) nesse ponto.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício que envolve cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas implícitas. O enunciado nos dá uma relação complicada entre $ x $ e $ y $ e pede para encontrarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função $ y(x) $ no ponto x . Para isso, vamos precisar usar a derivada implícita para achar $ \frac{dy}{dx} $ nesse ponto e, depois, usar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação que relaciona $ x $ e $ y $:
x
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dy}{dx} $ quando $ x = 1 $ e $ y = 7 $.

Passo 3

Para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, vamos usar a derivada implícita. Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
dydx
Podemos multiplicar ambos os lados por $ x y - \sqrt{x} $ para eliminar o denominador:
yx y - raizx = x^2 + 16

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
y = x^2 cdot x y - x^2 cdot raizx + 16 cdot x y - 16 cdot raizx
Simplificando:
y = x^3 y - x^2 raizx + 16 x y - 16 raizx

Passo 5

Queremos trazer todos os termos para um lado da equação para facilitar a diferenciação:
y - x^3 y - 16 x y = - x^2 raizx - 16 raizx
Fatorando $ y $ no lado esquerdo:
y

Passo 6

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembrando que $ y $ é uma função de $ x $, vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Derivando o lado esquerdo:
x
Derivando o lado direito:
y

Passo 7

Igualando as derivadas dos dois lados:
y' ( 1 - x^3 - 16 x ) + y ( -3x^2 - 16 ) = - 12 x^-1/2 ( x^2 + 16 ) - 2x^3/2
Nosso objetivo é isolar $ y’ $, portanto vamos resolver essa equação para $ y’ $.

Passo 8

Isolando $ y’ $:
y'
Simplificando:
y' ( 1 - x^3 - 16 x ) = - y ( -3x^2 - 16 ) - 12 x^-1/2 ( x^2 + 16 ) - 2x^3/2

Passo 9

Agora, vamos substituir $ x = 1 $ e $ y = 7 $ na expressão acima para encontrar $ y’ $ no ponto x = 1 :
Calculando cada parte:
  • $ - y \left( -3x^{2} - \frac{1}{6} \right ) = -7 \left( -3(1)^{2} - \frac{1}{6} \right ) = -7 \left( -3 - \frac{1}{6} \right ) = -7 \left( -\frac{19}{6} \right ) = \frac{133}{6} $
  • $ - \frac{1}{2} x^{-1/2} \left( x^{2} + \frac{1}{6} \right ) = - \frac{1}{2} (1)^{-1/2} \left(1^{2} + \frac{1}{6} \right ) = - \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{6} \right ) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{6} = - \frac{7}{12} $
  • $ -2x^{3/2} = -2(1)^{3/2} = -2 $
Denominador:
y = 7

Passo 10

Substituindo todos os valores:
y' = 1336 - 712 - 2 -16
Vamos simplificar o numerador:
1336 - 712 - 2 = 26612 - 712 - 2412 = 266 - 7 - 2412 = 23512
Então:
y' = 23512 -16 = 23512 cdot ( -6 ) = - 2352

Passo 11

Agora que temos $ y’ = -\frac{235}{2} $, que é a inclinação da reta tangente no ponto y' = -2352 , podemos usar a equação da reta tangente:
(1, 7)
Onde $ m = -\frac{235}{2} $, $ x_0 = 1 $ e $ y_0 = 7 $.
Substituindo:
y - y0 = m (x - x0)

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ y(x) $ no ponto y(x) é:
(1, 7)

Exercícios relacionados