Seja f: R longrightarrow R derivável em R, tal que f(1)=4, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=0, com f^prime(x) <= 2 para todo x in R. Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir:
f(0)<2.

Passo 1

O exercício fornece uma função diferenciável em R com valores f(1)=4, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=0 e afirma que a derivada satisfaz f′(x)≤2 para todo x. Queremos avaliar se a desigualdade f(0)<2 é verdadeira ou falsa usando o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, para os pontos a=0 e b=1 existe c∈(0,1) tal que
f(1)−f(0)=f′©·(1−0). Como sabemos que f′©≤2, segue que
f(1)−f(0)≤2
Logo f(0)≥f(1)−2. Substituindo f(1)=4, obtemos f(0)≥4−2=2.

Passo 3

Portanto, a afirmação f(0)<2 contradiz o resultado f(0)≥2, de modo que ela é falsa.

Resposta

Falsa

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