Seja
derivável em
, tal que
, com
para todo
. Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir:
.
Passo 1
O exercício fornece uma função diferenciável em R com valores f(1)=4, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=0 e afirma que a derivada satisfaz f′(x)≤2 para todo x. Queremos avaliar se a desigualdade f(0)<2 é verdadeira ou falsa usando o Teorema do Valor Médio.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Médio, para os pontos a=0 e b=1 existe c∈(0,1) tal que
f(1)−f(0)=f′©·(1−0). Como sabemos que f′©≤2, segue que
f(1)−f(0)=f′©·(1−0). Como sabemos que f′©≤2, segue que
f(1)−f(0)≤2
Logo f(0)≥f(1)−2. Substituindo f(1)=4, obtemos f(0)≥4−2=2.
Passo 3
Portanto, a afirmação f(0)<2 contradiz o resultado f(0)≥2, de modo que ela é falsa.
Resposta
Falsa