Expressar o módulo de elasticidade volumétrico em função da variação de densidade em lugar da variação de volume.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente reescrever o módulo de elasticidade volumétrica (que normalmente vem em função de ΔV/V) usando variação de densidade (Δρ/ρ). Esse assunto é de Mecânica dos Fluidos ou Elasticidade de Materiais – basicamente a ideia de como pressão e volume (ou densidade) se conectam. A gente vai precisar da definição do “bulk modulus”
e da relação massa–densidade–volume
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a variação de volume em função de variação de densidade.
Partindo de , diferenciamos ambos os lados:
Partindo de
Dividindo tudo por
:
Passo 3
Agora substituímos isso na definição de
. Lembra que dá pra escrever
porque
é a variação relativa de volume. Então:
Passo 4
Finalmente, a gente simplifica a fração (dividir por
é o mesmo que multiplicar por
):
Se quiser a forma para incrementos finitos, troca
por
: