Expressar o módulo de elasticidade volumétrico em função da variação de densidade em lugar da variação de volume.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente reescrever o módulo de elasticidade volumétrica (que normalmente vem em função de ΔV/V) usando variação de densidade (Δρ/ρ). Esse assunto é de Mecânica dos Fluidos ou Elasticidade de Materiais – basicamente a ideia de como pressão e volume (ou densidade) se conectam. A gente vai precisar da definição do “bulk modulus”
K = -,V,dpdV
e da relação massa–densidade–volume
rho = mV Longrightarrow V=mrho

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a variação de volume em função de variação de densidade.
Partindo de dV = -,mrho^2,drho , diferenciamos ambos os lados:
dVV = -,mrho^2,drhoV = -,mrho^2,drhom/rho = -,drhorho
Dividindo tudo por :

Passo 3

Agora substituímos isso na definição de K = -,dpdV/V . Lembra que dá pra escrever
K = -,dpdV/V = -,dp-drho/rho = dpdrho/rho
porque é a variação relativa de volume. Então:

Passo 4

Finalmente, a gente simplifica a fração (dividir por K = rho,dpdrho é o mesmo que multiplicar por K = rho,De):
Se quiser a forma para incrementos finitos, troca por :

Resposta

(ou, em termos de incrementos, ).

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