Expressar a solução do problema de valor inicial em termos de uma integral de convolução.
Passo 1
O enunciado pede a solução da EDO
com condições iniciais nulas
,
.
O conteúdo é a resposta de um sistema LTI por convolução. Vamos usar transformada de Laplace para obter a resposta ao impulso e depois escrever
O conteúdo é a resposta de um sistema LTI por convolução. Vamos usar transformada de Laplace para obter a resposta ao impulso
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace a cada termo, usando
e
:
e do lado direito
.
Somando, obtém-se
Somando, obtém-se
Passo 3
Definimos a função de transferência
de modo que
. A resposta ao impulso
é
Passo 4
Para inverter
, completamos o quadrado no denominador:
Logo
e, pela tabela de Laplace,
Passo 5
Finalmente, usando convolução, a solução do PVI é