Expressar a solução do problema de valor inicial em termos de uma integral de convolução.
4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+17 y=g(t) ; \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
4\,y''(t)+4\,y'(t)+17\,y(t)=g(t)
com condições iniciais nulas y(0)=0, y'(0)=0.
O conteúdo é a resposta de um sistema LTI por convolução. Vamos usar transformada de Laplace para obter a resposta ao impulso h(t) e depois escrever
y(t)=(h*g)(t)=\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace a cada termo, usando y(0)=0 e y'(0)=0:
\mathcal{L}\{4y''\}=4\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)=4s^2Y(s),
\mathcal{L}\{4y'\}=4\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)=4sY(s),
\mathcal{L}\{17y\}=17Y(s),
e do lado direito \mathcal{L}\{g\}(s)=G(s).
Somando, obtém-se
(4s^2+4s+17)\,Y(s)=G(s) \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{G(s)}{4s^2+4s+17}.

Passo 3

Definimos a função de transferência
H(s)=\frac{1}{4s^2+4s+17},
de modo que Y(s)=H(s)\,G(s). A resposta ao impulso h(t) é
h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.

Passo 4

Para inverter H(s), completamos o quadrado no denominador:
4s^2+4s+17 =4\bigl(s^2+s+\tfrac{17}{4}\bigr) =4\Bigl((s+\tfrac12)^2+4\Bigr).
Logo
H(s) =\frac{1}{4}\,\frac{1}{(s+\tfrac12)^2+2^2}
e, pela tabela de Laplace,
h(t) =\frac{1}{4}\,e^{-t/2}\,\frac{\sin(2t)}{2} =\frac{1}{8}\,e^{-t/2}\,\sin(2t).

Passo 5

Finalmente, usando convolução, a solução do PVI é
y(t) =\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t}\frac{1}{8}\,e^{-\frac{t-\tau}{2}}\, \sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,g(\tau)\,d\tau.

Resposta

y(t) =\int_{0}^{t}\frac{1}{8}\,e^{-\frac{t-\tau}{2}}\, \sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,g(\tau)\,d\tau.

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