Resolver os sistemas de equações diferenciais lineares aplicando o método da transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(t)+z(t)=0 \\\ z^{\prime}(t)-y(t)=\delta(t-\pi)\end{array} \quad\right. Condições iniciais: y(0)=z(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear com forçamento impulsivo
\begin{cases} y'(t) + z(t) = 0,\\\ z'(t) - y(t) = \delta(t-\pi), \end{cases}
com condições iniciais y(0)=0, z(0)=0.
O conteúdo principal aqui é a transformada de Laplace em sistemas de EDOs e o uso da propriedade
L\{\delta(t-a)\}(s) = e^{-a s},
além do teorema do deslocamento no tempo para inverter transformadas com fatores e^{-a s}.

Passo 2

Aplicamos Laplace em cada equação, usando Y(s)=L\{y(t)\} e Z(s)=L\{z(t)\}.
Para a primeira equação:
L\{y'\}(s) + L\{z\}(s) = 0 \;\Longrightarrow\; sY(s) - y(0) + Z(s) = 0 \;\Longrightarrow\; sY(s) + Z(s) = 0
pois y(0)=0. Logo
Z(s) = -\,s\,Y(s).

Passo 3

Agora a segunda equação:
L\{z'\}(s) - L\{y\}(s) = L\{\delta(t-\pi)\}(s) \;\Longrightarrow\; sZ(s) - z(0) - Y(s) = e^{-\pi s} \;\Longrightarrow\; sZ(s) - Y(s) = e^{-\pi s}
pois z(0)=0. Substituindo Z(s)=-sY(s) obtemos
s\bigl(-sY(s)\bigr) - Y(s) = e^{-\pi s} \;\Longrightarrow\; -(s^2+1)\,Y(s) = e^{-\pi s} \;\Longrightarrow\; Y(s) = -\,\frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}.
E então
Z(s) = -\,s\,Y(s) = s\,\frac{e^{-\pi s}}{s^2+1}.

Passo 4

Invertemos as transformadas. Lembrando que
L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^2+1}\Bigr\}(t) = \sin t, \quad L^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^2+1}\Bigr\}(t) = \cos t,
e que o deslocamento no tempo dá
L^{-1}\bigl\{e^{-a s}F(s)\bigr\}(t) = f(t-a)\,u(t-a),
onde u(t) é a função de Heaviside.
Assim,
y(t) = L^{-1}\{Y(s)\}(t) = -\,u(t-\pi)\,\sin\bigl(t-\pi\bigr),
z(t) = L^{-1}\{Z(s)\}(t) = u(t-\pi)\,\cos\bigl(t-\pi\bigr).

Resposta

y(t) = -\,u(t-\pi)\,\sin\bigl(t-\pi\bigr), \qquad z(t) = u(t-\pi)\,\cos\bigl(t-\pi\bigr).

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