- Expressar o volume
de uma pirâmide quadrangular regular em função de sua altura
e de sua aresta lateral
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que encontrar o volume $ V $ de uma pirâmide quadrangular regular usando a altura $ x $ e a aresta lateral $ y $. A matéria que vamos usar é geometria espacial, especificamente fórmulas de volume de pirâmides. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a altura e a aresta lateral com a base da pirâmide.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de uma pirâmide é dado pela fórmula:
No caso da nossa pirâmide quadrangular, a base é um quadrado. Então, precisamos encontrar a área dessa base em função de $ y $ e $ x $.
Passo 3
Vamos identificar a relação entre a aresta lateral $ y $, a altura $ x $ e o lado da base $ a $. Se imaginar a pirâmide de lado, a aresta lateral, a altura e metade do lado da base formam um triângulo retângulo. Assim, podemos usar o teorema de Pitágoras:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ a $ nessa equação para expressar o lado da base em termos de $ y $ e $ x $:
Passo 5
Com o valor de $ a $ conhecido, podemos calcular a área da base $ A $:
Passo 6
Agora, voltamos à fórmula do volume da pirâmide e substituímos os valores encontrados:
Resposta
O volume $ V $ da pirâmide quadrangular regular em função da altura $ x $ e da aresta lateral $ y $ é: