1. Expressar o volume V de uma pirâmide quadrangular regular em função de sua altura x e de sua aresta lateral y.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que encontrar o volume $ V $ de uma pirâmide quadrangular regular usando a altura $ x $ e a aresta lateral $ y $. A matéria que vamos usar é geometria espacial, especificamente fórmulas de volume de pirâmides. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a altura e a aresta lateral com a base da pirâmide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de uma pirâmide é dado pela fórmula:
V = 13 times Área da base times AÁ
No caso da nossa pirâmide quadrangular, a base é um quadrado. Então, precisamos encontrar a área dessa base em função de $ y $ e $ x $.

Passo 3

Vamos identificar a relação entre a aresta lateral $ y $, a altura $ x $ e o lado da base $ a $. Se imaginar a pirâmide de lado, a aresta lateral, a altura e metade do lado da base formam um triângulo retângulo. Assim, podemos usar o teorema de Pitágoras:
y

Passo 4

Agora, vamos isolar $ a $ nessa equação para expressar o lado da base em termos de $ y $ e $ x $:
a

Passo 5

Com o valor de $ a $ conhecido, podemos calcular a área da base $ A $:
a

Passo 6

Agora, voltamos à fórmula do volume da pirâmide e substituímos os valores encontrados:
V = 13 times 4(y^2 - x^2) times x = 43x(y^2 - x^2)

Resposta

O volume $ V $ da pirâmide quadrangular regular em função da altura $ x $ e da aresta lateral $ y $ é:
V

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