(1.5)Seja
a. Determine o domínio e o gráfico de
.
b. Determine
e a imagem de
.
a. Determine o domínio e o gráfico de
b. Determine
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
e pede em (a) o domínio e o gráfico de
, e em (b) a função inversa
junto com a imagem de
. Para resolver, vamos usar a definição de domínio de logaritmo, as transformações de gráficos e a troca de variáveis para encontrar a inversa.
Passo 2
Para achar o domínio de
observamos que o argumento do logaritmo deve ser positivo:
Logo o domínio é
Quanto ao gráfico, é o gráfico de
deslocado 1 unidade à direita (por causa de
) e 3 unidades para cima (por causa do
). Em particular:
- Há assíntota vertical em
- Para
, . Para , . - Um ponto de referência é
, pois
Passo 3
Para encontrar
, escrevemos
e resolvemos para
:
Trocando
por
, obtemos
Passo 4
A imagem de
é todo
(pois
varia de
a
), então o domínio de
é
. A imagem de
coincide com o domínio de
, isto é,
.
Resposta
a. Domínio de
:
, gráfico de
é o de
deslocado 1 à direita e 3 para cima (assíntota vertical em
).
b. , imagem de
:
.
b.