(1.5)Seja f(x)=ln (x-1)+3
a. Determine o domínio e o gráfico de f.
b. Determine f^-1(x) e a imagem de f^-1.

Passo 1

O enunciado define a função fcolonRtoR dada por
f(x)=ln(x-1)+3
e pede em (a) o domínio e o gráfico de f, e em (b) a função inversa f^-1 junto com a imagem de f^-1. Para resolver, vamos usar a definição de domínio de logaritmo, as transformações de gráficos e a troca de variáveis para encontrar a inversa.

Passo 2

Para achar o domínio de f observamos que o argumento do logaritmo deve ser positivo:
x-1>0
Logo o domínio é
(1,infty)
Quanto ao gráfico, é o gráfico de y=ln x deslocado 1 unidade à direita (por causa de x-1) e 3 unidades para cima (por causa do +3). Em particular:
  1. Há assíntota vertical em
x=1
  1. Para xto1^+, f(x)to -infty. Para xtoinfty, f(x)toinfty.
  2. Um ponto de referência é x=2, pois
f(2)=ln(2-1)+3=0+3=3

Passo 3

Para encontrar f^-1, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x:
y=ln(x-1)+3 Longrightarrow y-3=ln(x-1) Longrightarrow x-1=e^,y-3 Longrightarrow x=e^,y-3+1
Trocando y por x, obtemos
f^-1(x)=e^,x-3+1

Passo 4

A imagem de f é todo R (pois ln varia de -infty a +infty), então o domínio de f^-1 é R. A imagem de f^-1 coincide com o domínio de f, isto é, (1,infty).

Resposta

a. Domínio de f: (1,infty), gráfico de y=ln(x-1)+3 é o de y=ln x deslocado 1 à direita e 3 para cima (assíntota vertical em x=1).
b. f^-1(x)=e^,x-3+1, imagem de f^-1: (1,infty).

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