Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(c) f(x, y)=\frac{e^{x}+e^{y}}{e^{x y-1}}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o maior conjunto no qual a função é contínua” para a função
f(x,y)=\frac{e^{x}+e^{y}}{e^{x y-1}}.
Informações dadas que importam: a expressão explícita da função com numerador \,e^{x}+e^{y}\, e denominador \,e^{x y-1}\,. A pergunta é qual o maior conjunto de pontos (x,y) onde essa função é contínua.

Passo 2

Vamos primeiro identificar o domínio natural da função — ou seja, todos os pontos (x,y) onde a expressão faz sentido. Como temos uma divisão, a única possível restrição é que o denominador não seja zero. Assim o domínio candidato é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid e^{x y-1}\neq 0\}.

Passo 3

Agora precisamos saber se existe algum (x,y) tal que e^{x y-1}=0. Use uma propriedade básica da exponencial: para todo número real t vale
e^{t}>0.
Isto significa que a função exponencial nunca assume o valor zero (nem valor negativo), para qualquer argumento real.

Passo 4

Aplicando a propriedade anterior ao nosso caso, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 temos que x y-1 é um número real, logo
e^{x y-1}>0,
em particular e^{x y-1}\neq 0 para todo (x,y). Portanto não existe ponto onde o denominador seja zero, e o domínio natural da função é todo o plano:
D=\mathbb{R}^2.

Passo 5

Para ver a continuidade é útil reescrever a função usando a regra dos expoentes. Lembre que \dfrac{e^{a}}{e^{b}}=e^{a-b}. Aplicando aqui:
f(x,y)=\frac{e^{x}}{e^{x y-1}}+\frac{e^{y}}{e^{x y-1}}=e^{x-(x y-1)}+e^{y-(x y-1)}.
Simplificando as subtrações dos expoentes:
f(x,y)=e^{1+x-x y}+e^{1+y-x y}.

Passo 6

Agora um pequeno “mini-aula” sobre continuidade que vamos usar:
  • A função t\mapsto e^{t} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Se g e h são funções contínuas, então g+h, g\cdot h e, quando h não se anula, g/h são contínuas onde definidas.
  • A composição de funções contínuas é contínua.
No caso de funções de duas variáveis, estas regras valem ponto a ponto: se cada expressão que compõe f(x,y) é contínua em (x,y), então f é contínua em (x,y).

Passo 7

Aplicando isso ao nosso f: as funções projetivas (x,y)\mapsto x, (x,y)\mapsto y e (x,y)\mapsto x y são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Composições como (x,y)\mapsto x y-1 e (x,y)\mapsto 1+x-x y são contínuas. Como t\mapsto e^{t} é contínua, cada termo e^{1+x-x y} e e^{1+y-x y} é contínuo em todo \mathbb{R}^2. A soma desses termos é então contínua em todo \mathbb{R}^2.

Passo 8

Se quiser um exemplo concreto para ganhar confiança: em (0,0) temos
f(0,0)=\frac{e^{0}+e^{0}}{e^{0\cdot0-1}}=\frac{1+1}{e^{-1}}=2e.
A continuidade em (0,0) significa que limites de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) coincidem com 2e, e isso se garante pelas propriedades de continuidade que usamos acima.

Passo 9

Conclusão: não há pontos excluídos do domínio por causa do denominador e a função é soma de funções exponenciais contínuas compostas com polinômios em (x,y). Logo f é contínua em todo o plano.

Resposta

\mathbb{R}^2

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