Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(c)
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Passo 1
O enunciado pede: “Determine o maior conjunto no qual a função é contínua” para a função
Informações dadas que importam: a expressão explícita da função com numerador
e denominador
. A pergunta é qual o maior conjunto de pontos
onde essa função é contínua.
Passo 2
Vamos primeiro identificar o domínio natural da função — ou seja, todos os pontos
onde a expressão faz sentido. Como temos uma divisão, a única possível restrição é que o denominador não seja zero. Assim o domínio candidato é
Passo 3
Agora precisamos saber se existe algum
tal que
. Use uma propriedade básica da exponencial: para todo número real
vale
Isto significa que a função exponencial nunca assume o valor zero (nem valor negativo), para qualquer argumento real.
Passo 4
Aplicando a propriedade anterior ao nosso caso, para todo
temos que
é um número real, logo
em particular
para todo
. Portanto não existe ponto onde o denominador seja zero, e o domínio natural da função é todo o plano:
Passo 5
Para ver a continuidade é útil reescrever a função usando a regra dos expoentes. Lembre que
. Aplicando aqui:
Simplificando as subtrações dos expoentes:
Passo 6
Agora um pequeno “mini-aula” sobre continuidade que vamos usar:
- A função
é contínua em todo . - Se
e são funções contínuas, então , e, quando não se anula, são contínuas onde definidas. - A composição de funções contínuas é contínua.
No caso de funções de duas variáveis, estas regras valem ponto a ponto: se cada expressão que compõe
é contínua em
, então
é contínua em
.
Passo 7
Aplicando isso ao nosso
: as funções projetivas
,
e
são contínuas em todo
. Composições como
e
são contínuas. Como
é contínua, cada termo
e
é contínuo em todo
. A soma desses termos é então contínua em todo
.
Passo 8
Se quiser um exemplo concreto para ganhar confiança: em
temos
A continuidade em
significa que limites de
quando
coincidem com
, e isso se garante pelas propriedades de continuidade que usamos acima.
Passo 9
Conclusão: não há pontos excluídos do domínio por causa do denominador e a função é soma de funções exponenciais contínuas compostas com polinômios em
. Logo
é contínua em todo o plano.