1. Num sistema de agrupamentos simples de base 5 representemos 1,5,5^{2} e 5^{3} por I,{ }^{*}, \supset e \subset. Expresse os números 360, 252, 78 e 33 nesse sistema.

Passo 1

O enunciado pede que eu expresse os números 360, 252, 78 e 33 num sistema de agrupamentos de base 5 onde os símbolos representam as potências de 5 assim:
1 \mapsto I,\qquad 5 \mapsto \ast,\qquad 5^{2}\mapsto \supset,\qquad 5^{3}\mapsto \subset.
Lista das informações dadas:
\text{Símbolos: }I,\\ \ast,\\ \supset,\\ \subset.í
\text{Pontos pedidos: escrever }360,\\\ 252,\\\ 78,\\\ 33 \text{ usando esses símbolos (base 5).}í

Passo 2

Como a base é 5, cada número será escrito usando coeficientes para as potências 5^{3}=125, 5^{2}=25, 5^{1}=5 e 5^{0}=1. Vou explicar o método passo a passo (sem pular etapas):
  • Ideia: qualquer número inteiro N pode ser escrito como
N = a_{3}5^{3} + a_{2}5^{2} + a_{1}5 + a_{0},
onde cada coeficiente a_{k} é um inteiro entre 0 e 4 (inclusive). Esses a_{k} são os dígitos na base 5.
  • Para encontrar a_{3} eu divido N por 5^{3}=125 e tomo a parte inteira. O resto vai para as potências menores.
  • Em seguida calculo a_{2} dividindo o resto por 25, e assim por diante até a_{0}.
  • Depois, cada coeficiente a_{k} é traduzido para o símbolo correspondente repetido a_{k} vezes. Por exemplo, se a_{2}=3 significa três símbolos \supset (porque \supset representa 5^{2}).
Exemplo rápido e simples (apenas para fixar): 13_{10} em base 5 é 13 = 2\cdot5 + 3, logo 13=(23)_{5} e seria escrito como \ast\ast III (dois \ast e três I). Agora aplico o mesmo método nos números do enunciado.

Passo 3

Converter 360 para base 5:
  • Calculo do coeficiente de 5^{3}=125:
a_{3}=\left\lfloor\frac{360}{125}\right\rfloor=2.
Resto: 360-2\cdot125=360-250=110.
  • Calculo do coeficiente de 5^{2}=25:
a_{2}=\left\lfloor\frac{110}{25}\right\rfloor=4.
Resto: 110-4\cdot25=110-100=10.
  • Calculo do coeficiente de 5^{1}=5:
a_{1}=\left\lfloor\frac{10}{5}\right\rfloor=2.
Resto: 10-2\cdot5=0.
  • Finalmente a_{0}=0.
Portanto a escrita em base 5 é
360 = (2420)_{5},
ou seja a_{3}=2,\\ a_{2}=4,\\ a_{1}=2,\\ a_{0}=0. Em símbolos: 2 cópias de \subset, 4 cópias de \supset, 2 cópias de \ast e 0 de I.

Passo 4

Converter 252 para base 5:
  • a_{3}=\left\lfloor\frac{252}{125}\right\rfloor=2. Resto: 252-2\cdot125=252-250=2.
  • a_{2}=\left\lfloor\frac{2}{25}\right\rfloor=0. Resto continua 2.
  • a_{1}=\left\lfloor\frac{2}{5}\right\rfloor=0. Resto continua 2.
  • a_{0}=2.
Logo
252 = (2002)_{5},
ou seja a_{3}=2,\\ a_{2}=0,\\ a_{1}=0,\\ a_{0}=2. Em símbolos: 2 cópias de \subset, 0 de \supset, 0 de \ast, 2 de I.

Passo 5

Converter 78 para base 5:
  • a_{3}=\left\lfloor\frac{78}{125}\right\rfloor=0. Resto 78.
  • a_{2}=\left\lfloor\frac{78}{25}\right\rfloor=3. Resto: 78-3\cdot25=78-75=3.
  • a_{1}=\left\lfloor\frac{3}{5}\right\rfloor=0. Resto 3.
  • a_{0}=3.
Logo
78 = (0303)_{5} = (303)_{5},
ou seja a_{3}=0,\\ a_{2}=3,\\ a_{1}=0,\\ a_{0}=3. Em símbolos: 3 cópias de \supset, 0 de \ast, 3 de I.

Passo 6

Converter 33 para base 5:
  • a_{3}=\left\lfloor\frac{33}{125}\right\rfloor=0. Resto 33.
  • a_{2}=\left\lfloor\frac{33}{25}\right\rfloor=1. Resto: 33-1\cdot25=8.
  • a_{1}=\left\lfloor\frac{8}{5}\right\rfloor=1. Resto: 8-1\cdot5=3.
  • a_{0}=3.
Logo
33 = (0113)_{5} = (113)_{5},
ou seja a_{3}=0,\\ a_{2}=1,\\ a_{1}=1,\\ a_{0}=3. Em símbolos: 1 \supset, 1 \ast, 3 I.

Resposta

360:\\ \subset\subset\supset\supset\supset\supset\ast\ast\n
252:\\ \subset\subset II\n
78:\\ \supset\supset\supset III\n
33:\\ \supset\ast III

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