Teste da Segunda Derivada para Funções de uma Variável Real: Suponha que
seja contínua na proximidade de
.
(a) Se
e
, então
é ponto de mínimo local de
.
(b) Se
e
, então
é ponto de máximo local de
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede para provar o Teste da Segunda Derivada em função de uma variável: se estivermos num ponto p onde f′§=0 e f″ é contínua perto de p, mostrar que (a) se f″§>0 então p é mínimo local e (b) se f″§<0 então p é máximo local. Vamos usar um pouco de teoria de Taylor e da continuidade de f″.
Passo 2
Como f é duas vezes diferenciável e f″ é contínua, podemos aplicar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange. Para qualquer x próximo de p existe ξ entre p e x tal que
Passo 3
Vamos ao caso (a). Suponha f’§=0 e f’’§>0. Pela continuidade de f’’ em p, existe δ>0 tal que para todo ξ com |ξ−p|<δ temos f’’(ξ)>0. Então, se x satisfaz 0<|x−p|<δ, no desenvolvimento de Taylor aparece
Passo 4
Porque (x−p)^2>0 e f’’(ξ)>0. Logo f(x)>f§ para x≠p suficientemente perto, o que caracteriza p como ponto de mínimo local.
Passo 5
Para o caso (b), o raciocínio é análogo. Se f’§=0 e f’’§<0, pela continuidade de f’’ existe δ>0 tal que f’’(ξ)<0 sempre que |ξ−p|<δ. Então para 0<|x−p|<δ temos
Passo 6
Já que (x−p)^2>0 mas f’’(ξ)<0, daí f(x)<f§ para x≠p perto o suficiente. Isso mostra que p é ponto de máximo local.
Passo 7
Portanto, usando Taylor e a continuidade de f″, concluímos o Teste da Segunda Derivada nos dois casos.
Resposta
a) p é ponto de mínimo local de f; b) p é ponto de máximo local de f.