Teste da Segunda Derivada para Funções de uma Variável Real: Suponha que f^prime prime seja contínua na proximidade de p.
(a) Se f^prime(p)=0 e f^prime prime(p)>0, então p é ponto de mínimo local de f.
(b) Se f^prime(p)=0 e f^prime prime(p)<0, então p é ponto de máximo local de f.

Passo 1

O enunciado pede para provar o Teste da Segunda Derivada em função de uma variável: se estivermos num ponto p onde f′§=0 e f″ é contínua perto de p, mostrar que (a) se f″§>0 então p é mínimo local e (b) se f″§<0 então p é máximo local. Vamos usar um pouco de teoria de Taylor e da continuidade de f″.

Passo 2

Como f é duas vezes diferenciável e f″ é contínua, podemos aplicar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange. Para qualquer x próximo de p existe ξ entre p e x tal que
f(x)=f(p)+f'(p),(x-p)+f''(xi)2,(x-p)^2

Passo 3

Vamos ao caso (a). Suponha f’§=0 e f’’§>0. Pela continuidade de f’’ em p, existe δ>0 tal que para todo ξ com |ξ−p|<δ temos f’’(ξ)>0. Então, se x satisfaz 0<|x−p|<δ, no desenvolvimento de Taylor aparece
f(x)-f(p)=f''(xi)2,(x-p)^2>0

Passo 4

Porque (x−p)^2>0 e f’’(ξ)>0. Logo f(x)>f§ para x≠p suficientemente perto, o que caracteriza p como ponto de mínimo local.

Passo 5

Para o caso (b), o raciocínio é análogo. Se f’§=0 e f’’§<0, pela continuidade de f’’ existe δ>0 tal que f’’(ξ)<0 sempre que |ξ−p|<δ. Então para 0<|x−p|<δ temos
f(x)-f(p)=f''(xi)2,(x-p)^2<0

Passo 6

Já que (x−p)^2>0 mas f’’(ξ)<0, daí f(x)<f§ para x≠p perto o suficiente. Isso mostra que p é ponto de máximo local.

Passo 7

Portanto, usando Taylor e a continuidade de f″, concluímos o Teste da Segunda Derivada nos dois casos.

Resposta

a) p é ponto de mínimo local de f; b) p é ponto de máximo local de f.

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