Expresse cada integral como uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z d z d y d x.

Passo 1

Neste exercício vamos avaliar a integral tripla integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x,z,dz,dy,dx. O conteúdo é integração em coordenadas esféricas, e a região é o octante positivo ( x,y,z>=0) de uma esfera de raio 3.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as conversões e o elemento de volume:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Como estamos no primeiro octante, os limites são
0<=theta<=pi/2, 0<=phi<=pi/2, 0<=rho<=3.

Passo 3

Substituindo x e z no integrando e incluindo o Jacobiano, a integral vira
integral0^pi/2integral0^pi/2integral0^3(rhosinphicostheta),(rhocosphi),rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
ou seja
integral0^pi/2integral0^pi/2integral0^3rho^4sin^2!phi,cosphi,costheta,drho,dphi,dtheta

Passo 4

A integral separa em produto de três integrais independentes:
l(integral0^3rho^4,drhor), l(integral0^pi/2sin^2!phi,cosphi,dphir), l(integral0^pi/2costheta,dthetar)
Calculando:
integral0^3rho^4,drho=3^55=2435,
integral0^pi/2sin^2!phi,cosphi,dphi=integral0^1u^2,du=13,
integral0^pi/2costheta,dtheta=1
Multiplicando tudo, obtemos 2435cdot13cdot1=24315=815

Resposta

815

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