Expresse cada integral como uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida:
.
Passo 1
Neste exercício vamos avaliar a integral tripla
. O conteúdo é integração em coordenadas esféricas, e a região é o octante positivo (
) de uma esfera de raio 3.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos as conversões e o elemento de volume:
Como estamos no primeiro octante, os limites são
,
,
.
Passo 3
Substituindo
e
no integrando e incluindo o Jacobiano, a integral vira
ou seja
Passo 4
A integral separa em produto de três integrais independentes:
Calculando:
Multiplicando tudo, obtemos