Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^{n}
Isso é conteúdo de séries numéricas, mais precisamente de série geométrica, cuja convergência e soma conhecemos via parâmetro da razão.

Passo 2

Reconhecemos que se trata de uma série geométrica de primeiro termo
a_0 = \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)^{0} = 1
e razão
r = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

O critério de convergência para série geométrica diz que ela converge se, e somente se,
|r| < 1.
Aqui temos
\bigl|\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\bigr| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1,
logo a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é
S = \frac{a_0}{1 - r}.
Substituindo a_0=1 e r=\tfrac{1}{\sqrt{2}},
S = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
S = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\,\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{1} = 2 + \sqrt{2}.

Resposta

A série converge e sua soma é 2 + \sqrt{2}.

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