Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n} Passo 1O enunciado pede para analisar a convergência da série \sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^{n} Isso é conteúdo de séries numéricas, mais precisamente de série geométrica, cuja convergência e soma conhecemos via parâmetro da razão. Passo 2Reconhecemos que se trata de uma série geométrica de primeiro termo a_0 = \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)^{0} = 1 e razão r = \frac{1}{\sqrt{2}}. Passo 3O critério de convergência para série geométrica diz que ela converge se, e somente se, |r| < 1. Aqui temos \bigl|\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\bigr| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1, logo a série converge. Passo 4A soma de uma série geométrica convergente é S = \frac{a_0}{1 - r}. Substituindo a_0=1 e r=\tfrac{1}{\sqrt{2}}, S = \frac{1}{1 - \tfrac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} Para simplificar, racionalizamos o denominador: S = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\,\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{1} = 2 + \sqrt{2}. RespostaA série converge e sua soma é 2 + \sqrt{2}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosNos Exercícios 27-34, use o teste do n-ésimo termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo. \sum_{n-1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+3} Expresse cada um dos números nos Exercícios 19-26 como a razão de dois inteiros. 1, \overline{414}=1,414414414 \ldots Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3}{2^{n}} Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3}{2^{n}}