1.2 Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma polar ( r e^{j \theta}, com -\pi<\theta \leq \pi ): 5,-2,-3j,
\frac{1}{2}-j \frac{\sqrt{3}}{2}, 1+j,(1-j)^{2}, j(1-j),(1+j) /(1-j), (\sqrt{2}+j \sqrt{2}) /(1+j \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado pede para converter cada número complexo dado em sua forma polar
r e^{j\theta}
com r>0 e -\pi<\theta\le\pi. O conteúdo que usamos é que, para z=a+j b,
r = \sqrt{a^2 + b^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(b,a)
onde \operatorname{atan2}(b,a) escolhe o quadrante correto.

Passo 2

Aplicamos a fórmula geral aos casos mais simples que ficam sobre os eixos real ou imaginário:
  • Para z=5, temos a=5, b=0,
r=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \theta=\operatorname{atan2}(0,5)=0.
Logo 5 = 5\,e^{j0}.
  • Para z=-2, temos a=-2, b=0,
r=\sqrt{(-2)^2+0^2}=2,\quad \theta=\operatorname{atan2}(0,-2)=\pi.
Logo -2 = 2\,e^{j\pi}.
  • Para z=-3j, isto é a=0, b=-3,
r=\sqrt{0^2+(-3)^2}=3,\quad \theta=\operatorname{atan2}(-3,0)=-\tfrac{\pi}{2}.
Logo -3j = 3\,e^{-j\pi/2}.

Passo 3

Agora números no plano geral:
  • Para z=\tfrac12 - j\tfrac{\sqrt3}{2},
r=\sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^2+\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac14+\tfrac34}=1,
\theta=\operatorname{atan2}\!\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\bigr)=-\tfrac{\pi}{3}.
Logo z=1\,e^{-j\pi/3}.
  • Para z=1+j,
r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\quad \theta=\operatorname{atan2}(1,1)=\tfrac{\pi}{4}.
Logo 1+j = \sqrt2\,e^{j\pi/4}.

Passo 4

Expressões algébricas que simplificam:
  • Para (1-j)^2, expandimos
(1-j)^2 = 1 -2j +(-j)^2 = 1-2j -1 = -2j.
Já fizemos antes -2j = 2\,e^{-j\pi/2}.
  • Para j(1-j), multiplicamos
j(1-j) = j -j^2 = j +1 = 1+j,
que vimos dá \sqrt2\,e^{j\pi/4}.

Passo 5

Frações de complexos por conjugação ou por diferença de argumentos:
  • Para \tfrac{1+j}{1-j}, multiplica-se numerador e denominador por 1+j:
\frac{1+j}{1-j} = \frac{(1+j)^2}{(1-j)(1+j)} = \frac{1+2j-1}{1+1} = \frac{2j}{2} = j.
E j = 1\,e^{j\pi/2}.

Passo 6

Último caso de divisão de dois números com argumentos distintos:
\frac{\sqrt2 + j\sqrt2}{1 + j\sqrt3}
Podemos separar em módulo e ângulo: \sqrt2 + j\sqrt2 tem módulo r_1=2 e ângulo \theta_1=\pi/4. 1 + j\sqrt3 tem módulo r_2=2 e ângulo \theta_2=\pi/3.
Então
r=\frac{r_1}{r_2}=1,\quad \theta=\theta_1-\theta_2 =\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{12}.
Logo
\frac{\sqrt2 + j\sqrt2}{1 + j\sqrt3} =1\,e^{-j\pi/12}.

Resposta

a) 5 = 5\,e^{j0}
b) -2 = 2\,e^{j\pi}
c) -3j = 3\,e^{-j\pi/2}
d) \tfrac12 - j\tfrac{\sqrt3}{2} = 1\,e^{-j\pi/3}
e) 1+j = \sqrt2\,e^{j\pi/4}
f) (1-j)^2 = 2\,e^{-j\pi/2}
g) j(1-j) = \sqrt2\,e^{j\pi/4}
h) \tfrac{1+j}{1-j} = 1\,e^{j\pi/2}
i) \dfrac{\sqrt2 + j\sqrt2}{1 + j\sqrt3} = 1\,e^{-j\pi/12}

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