Expresse cada uma das seguintes velocidades de variação em termos de funções de estado.
(a) A velocidade de variação de U em relação à temperatura em um sistema mantido a volume constante.
Passo 1
O que o enunciado pede: expressar a velocidade de variação de U em relação à temperatura quando o sistema é mantido a volume constante.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): U é a energia interna (função de estado), a temperatura é \,T, o volume é mantido constante (V= constante). Não há outros dados numéricos — queremos uma expressão em termos de funções de estado.
Passo 2
Lembrete físico e matemático fundamental: a energia interna U é uma função de estado que, para um sistema simples e compressível, pode ser escrita diferencialmente como
dU=\delta Q+\delta W.
Aqui \delta Q é o calor trocado e \delta W é o trabalho. Para trabalho de pressão-volume temos \delta W=-P\,dV. Essa é a forma geral do primeiro princípio da termodinâmica para trabalho P\,dV.
Passo 3
Usando a segunda lei (para processos reversíveis) introduzimos a entropia S pela relação
\delta Q_{\text{rev}}=T\,dS.
Substituindo \delta Q_{\text{rev}} e \delta W em dU (assumindo trabalho P\,dV e processo reversível para relacionar \delta Q a dS) obtemos a relação termodinâmica fundamental
dU=T\,dS-P\,dV.
Essa equação é muito útil porque relaciona três funções de estado: U, S e V (além de T e P que também são funções de estado).
Passo 4
Como U é função de estado, podemos escrever seu diferencial total em termos de (T,V) como variáveis independentes:
Aqui \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} é justamente a velocidade de variação de U com T quando V é mantido constante — é o que queremos expressar.
Ou seja, a velocidade de variação de U com T a volume constante é a capacidade térmica a volume constante.
Passo 8
Comentário prático e exemplo curto (para fixar): para um gás ideal monoatômico ideal \,U depende só de T e podemos escrever U=n\,c_{V}^{(m)}T (onde n é número de mols e c_{V}^{(m)} é a capacidade molar a volume constante). Nesse caso
Observações finais rápidas: a derivação usou relações termodinâmicas padrão e a definição de entropia; a igualdade \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=C_{V} vale para sistemas simples onde essas grandezas estão bem definidas (sistemas fechados, trabalho P\,dV, etc.). Você pode usar essa relação diretamente na prova.