Expresse cada uma das seguintes velocidades de variação em termos de funções de estado.
(a) A velocidade de variação de U em relação à temperatura em um sistema mantido a volume constante.

Passo 1

O que o enunciado pede: expressar a velocidade de variação de U em relação à temperatura quando o sistema é mantido a volume constante.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): U é a energia interna (função de estado), a temperatura é \,T, o volume é mantido constante ( V= constante). Não há outros dados numéricos — queremos uma expressão em termos de funções de estado.

Passo 2

Lembrete físico e matemático fundamental: a energia interna U é uma função de estado que, para um sistema simples e compressível, pode ser escrita diferencialmente como
dU=\delta Q+\delta W.
Aqui \delta Q é o calor trocado e \delta W é o trabalho. Para trabalho de pressão-volume temos \delta W=-P\,dV. Essa é a forma geral do primeiro princípio da termodinâmica para trabalho P\,dV.

Passo 3

Usando a segunda lei (para processos reversíveis) introduzimos a entropia S pela relação
\delta Q_{\text{rev}}=T\,dS.
Substituindo \delta Q_{\text{rev}} e \delta W em dU (assumindo trabalho P\,dV e processo reversível para relacionar \delta Q a dS) obtemos a relação termodinâmica fundamental
dU=T\,dS-P\,dV.
Essa equação é muito útil porque relaciona três funções de estado: U, S e V (além de T e P que também são funções de estado).

Passo 4

Como U é função de estado, podemos escrever seu diferencial total em termos de (T,V) como variáveis independentes:
dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} dV.
Aqui \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} é justamente a velocidade de variação de U com T quando V é mantido constante — é o que queremos expressar.

Passo 5

Compare agora as duas expressões para dU:
dU=T\,dS-P\,dV
e
dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} dV.
Fixando o volume ( dV=0) obtemos da primeira expressão
dU\big|_{V}=T\,dS\big|_{V}.
Da segunda expressão, com dV=0,
dU\big|_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} dT.
Igualando as duas expressões (ambas valem dU para variações com V fixo) e dividindo por dT obtemos
\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}.
Esta é uma expressão em termos de funções de estado T e S.

Passo 6

Introduzimos a capacidade térmica a volume constante. Definição (para um processo reversível ou diferencial):
C_{V}=\left(\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{\partial T}\right)_{V}.
Como \delta Q_{\text{rev}}=T\,dS, temos
C_{V}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}.

Passo 7

Comparando o resultado do Passo 5 com a definição em termos de entropia do Passo 6 concluímos a igualdade útil e frequentemente usada:
\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=C_{V}.
Ou seja, a velocidade de variação de U com T a volume constante é a capacidade térmica a volume constante.

Passo 8

Comentário prático e exemplo curto (para fixar): para um gás ideal monoatômico ideal \,U depende só de T e podemos escrever U=n\,c_{V}^{(m)}T (onde n é número de mols e c_{V}^{(m)} é a capacidade molar a volume constante). Nesse caso
\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=n\,c_{V}^{(m)}=C_{V},
como esperado.

Passo 9

Observações finais rápidas: a derivação usou relações termodinâmicas padrão e a definição de entropia; a igualdade \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=C_{V} vale para sistemas simples onde essas grandezas estão bem definidas (sistemas fechados, trabalho P\,dV, etc.). Você pode usar essa relação diretamente na prova.

Resposta

\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=T\left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}
\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=C_{V}

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