Expresse cada uma das seguintes velocidades de variação em termos de funções de estado.
(b) A velocidade de variação de H em relação à temperatura em um sistema mantido a pressão constante.

Passo 1

O enunciado pede: expressar a velocidade de variação de H em relação à temperatura para um sistema mantido à pressão constante.
Informações dadas e assumidas (tudo o que podemos usar como estado do sistema): H (entalpia), T (temperatura), P (pressão, aqui mantida constante), U (energia interna), S (entropia) e V (volume). Queremos uma expressão envolvendo apenas funções de estado (por exemplo S,\,T,\,C_P, etc.) para o derivativo parcial \left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_P.

Passo 2

Definição básica que vamos usar: entalpia é definida por
H = U + P\,V
Expliquei cada símbolo: \;H é a entalpia (função de estado), \;U é a energia interna (função de estado), \;P é a pressão e \;V é o volume (funções de estado também). Essa identidade é apenas a definição de H, válida para sistemas fechados simples.

Passo 3

Vamos calcular o diferencial total de H. Derivando a definição obtemos
dH = dU + P\,dV + V\,dP
Aqui usei a regra do produto para P\,V. Esta fórmula é uma identidade diferencial exata porque H é função de estado.

Passo 4

Usamos agora a relação termodinâmica fundamental (válida para sistemas simples em equilíbrio, resultado das primeiras e segundas leis):
dU = T\,dS - P\,dV
Nessa expressão: T é a temperatura (intensiva) e S é a entropia; a forma dU = T\,dS - P\,dV significa que, para variações reversíveis, a energia interna muda com entropia e volume dessa maneira.

Passo 5

Substituindo dU em dH obtemos
dH = \bigl(T\,dS - P\,dV\bigr) + P\,dV + V\,dP
Agora os termos -P\,dV e +P\,dV se cancelam, ficando
dH = T\,dS + V\,dP
Essa é uma expressão muito útil: mostra como H varia com pequenas mudanças de S e P.

Passo 6

Como o enunciado fixa a pressão ( P= constante), temos dP=0. Assim, para variações à pressão constante,
dH = T\,dS \quad\text{(quando \(dP=0\))}
Queremos a velocidade de variação de H em relação a T à pressão constante, ou seja o derivativo parcial \left(\dfrac{\partial H}{\partial T}\right)_P. Tomando a diferencial precedente como função de T e P e fixando P, obtemos
\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P
Explico: ao manter P fixo, dH dividido por dT é T vezes dS/dT (às mesmas condições).

Passo 7

Ligação com capacidade térmica à pressão constante: por definição, a capacidade calorífica molar (ou total) à pressão constante é
C_P \equiv \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P.
Também, para processos reversíveis a P constante, dQ_{\text{rev}} = T\,dS = dH, então a coerência está garantida. Assim podemos escrever a relação final alternativa
\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P = C_P = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P.
Também é útil a forma invertida
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P = \frac{C_P}{T},
que aparece frequentemente em exercícios e provas.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P = C_P

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